Question

20．如圖是一個(gè)用來盛爆米花的圓錐形紙杯，紙杯開口圓的直徑EF長(zhǎng)為10cm，母線OE（OF）長(zhǎng)為10cm．    
（1）求圓錐形紙杯的側(cè)面積．
（2）若在母線OF上的點(diǎn)A處有一塊爆米花殘?jiān)�，且FA=2cm，一只螞蟻從杯口的點(diǎn)E處沿圓錐表面爬行到A點(diǎn)，求此螞蟻爬行的最短距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可得到結(jié)果；
（2）要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開，求出EA長(zhǎng)即可，在Rt△EOA中，OA=8，0E=10，根據(jù)勾股定理求出AE，即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）S_{圓錐的側(cè)面積}=$\frac{1}{2}$×10×10π=50π；

（2）圓錐側(cè)面沿母線OF展開可得下圖：
則$\widehat{EF}$=圓錐底面周長(zhǎng)的一半=$\frac{1}{2}$×10π=$\frac{10nπ}{180}$，
∴n=90，即∠EOF=90°，
在Rt△AOE中，OA=8cm，OE=10cm，
根據(jù)勾股定理可得：AE=2$\sqrt{41}$cm，
所以螞蟻爬行的最短距離為2$\sqrt{41}$cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面展開-最短路徑問題，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．本題就是把圓錐的側(cè)面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．