Question

5．如圖，一把寬為$\sqrt{3}$cm的直尺放在一個邊長為2$\sqrt{3}$cm，一頂角為30°的菱形紙片上，尺子邊緣與菱形紙片相交于點A，B，C，D，連接AC，BD它們相交于點O，則∠AOD的度數(shù)為75°．

Answer 1

分析 先得出sin15°的值，再根據(jù)特殊情況時進行分析，即當尺子正好經(jīng)過菱形的對角線，進行分析解答即可．

解答 解：在Rt△ABC中，如圖1：
當BC=1，∠BDC=30°，∠A=15°，∠B=90°，
∴BD=$\sqrt{3}$，DC=AD=2，
∴AB=2+$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{{1}^{2}+（2+\sqrt{3}）^{2}}=\sqrt{8+4\sqrt{3}}$，
∴cos∠A=cos15°=$\frac{AB}{AC}=\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
當尺子正好經(jīng)過菱形的對角線時，如圖，
∵頂角為30°的菱形，
∴由cos15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$得：
EC=2$\sqrt{3}$cos15°=$\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$，
∴BC=$3\sqrt{2}-\sqrt{6}$，DC=$\frac{DF}{cos15°}=3\sqrt{2}-\sqrt{6}$，
∴BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB=∠BAC，
∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=∠GBC=75°．
故答案為：75°

點評 此題考查菱形的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)尺子正好經(jīng)過菱形的對角線時的特殊情況分析．