Question

15．如圖，⊙O與射線AM相切于點(diǎn)B，⊙O的半徑為3．連結(jié)DA，作OC⊥OA 交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)BC，交DA于點(diǎn)D．
（1）求證：AB=AD；
（2）若cos∠A=$\frac{4}{5}$，求OD的長；
（3）是否存在△AOB與△COD全等的情形？若存在，求AB的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)OA⊥OC得到∠C+∠ODC=90°，然后根據(jù)AM是⊙O的切線得到∠CBO+∠ABD=90°，進(jìn)一步得到∠ABD=∠ADB，利用等角對等邊得到AB=AD；
（2）首先根據(jù)cos∠A=$\frac{4}{5}$得到tan∠A=$\frac{3}{4}$，然后在Rt△AOB中，OB=3得到OA=5，AB=4，從而求得OD的長；
（3）假設(shè)△AOB與△DCO全等，根據(jù)CD不可能與OB平行，得到∠CDO不可能與∠AOB對應(yīng)相等，得到∠A=60°后根據(jù)OB=3，求得AB=$\sqrt{3}$．

解答 （1）證明：∵OA⊥OC，
∴∠C+∠ODC=90°，
∵AM是⊙O的切線，
∴OB⊥AM，
即∠CBO+∠ABD=90°，
∵OC=OB，
∴∠C=∠OBC，
∴∠ABD=∠ADB，
即AB=AD；

（2）解：∵cos∠A=$\frac{4}{5}$，
∴tan∠A=$\frac{3}{4}$，
在Rt△AOB中，OB=3，
∴OA=5，AB=4，
∴OD=OA-AD=OA-AB=1；

（3）解：假設(shè)△AOB與△DCO全等，
∵CD不可能與OB平行，
∴∠CDO不可能與∠AOB對應(yīng)相等，
∴∠CDO=∠A，
∵∠ABD=∠ADB=∠CDO，
∴∠A=60°，
∵OB=3，
∴AB=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了圓的綜合知識及銳角三角函數(shù)、存在性問題，對于存在性問題，常常首先假設(shè)存在，然后從存在出發(fā)，如果能夠得到結(jié)論就存在，否則就不存在，綜合性較強(qiáng)，難度較大．