Question

1．已知D是等邊△ABC邊AB上的一點，現將△ABC折疊，使點C與D重合，折痕為EF，點E、F分別在AC和BC上．
（1）如圖1，如果點D是線段AB的中點，求CE：CF的值．
（2）如圖2，如果AD：DB=1：2，
①求證：△ADE∽△BFD；
②求CE：CF的值．
（3）如果AD：DB=1：n，求CE：CF的值．

Answer 1

分析 （1）先判斷出EF∥AB，進而得出△CEF是等邊三角形，即可得出結論；
（2）①由對稱得出∠EDF=∠ECF=60°，EC=ED，FC=FD，進而得出∠BDF=∠DEA即可得出結論；
②先表示出ED，DF，EA，DB，AD，BF，進而借助①的結論即可得出，$\frac{a}=\frac{3x-a}{2x}=\frac{x}{3x-b}$，處理即可得出結論；
（3）同（2）②的方法即可得出結論．

解答 解：（1）∵D是AB的中點，△ABC是等邊三角形，
∴CD⊥AB，
∵EF⊥CD，
∴EF∥AB，
∴△CEF是等邊三角形，
∴CE=CF，
∴CE：CF=1：1；
（2）①∵△EFC與△EFD關于EF對稱，
∴∠EDF=∠ECF=60°，EC=ED，FC=FD，
∵∠BDF+∠EDF=∠BDE=∠A+∠DEA，
∵∠EDF=∠A=60°，
∴∠BDF=∠DEA，
∴△ADE∽△BFD，
②設AD=x，CE=DE=a，CF=DF=b，
∵AD：BD=1：2，
∴DB=2x，
∴AB=3x=AC=BC，
∴AE=3x-a，BF=3x-b，
由①知，△ADE∽△BFD，
∴$\frac{ED}{DF}=\frac{EA}{DB}=\frac{AD}{BF}$，
∴$\frac{a}=\frac{3x-a}{2x}=\frac{x}{3x-b}$，
由前兩項得，2ax=b（3x-a），
由后兩項得，（3x-a）（3x-b）=2x²，
即：3x（3x-a）-b（3x-a）=2x²，
∴3x（3x-a）-2ax=2x²，
∴a=$\frac{7}{5}$x，
∴$\frac{a}=\frac{3x-a}{2x}=\frac{4}{5}$，
∴CE：CF=4：5；
（3）設AD=x，CE=DE=a，CF=DF=b，
∵AD：DB=1：n，
∴AB=（n+1）x=AC=BC，
∴AE=（n+1）x-a，BF=（n+1）x-b，
同①的方法得，△ADE∽△BFD，
∴$\frac{ED}{DF}=\frac{EA}{DB}=\frac{AD}{BF}$，
∴$\frac{a}=\frac{（n+1）x-a}{nx}=\frac{x}{（n+1）x-b}$，
由前兩項得，nax=b[（n+1）x-a]，
由后兩項得，[（n+1）x-a][（n+1）x-b]=nx²，
∴（n+1）[（n+1）x-a]-b[（n+a）-b]=nx²，
∴（n+1）[（n+1）x-a]-nax=nx²，
解得，a=$\frac{{n}^{2}+n+1}{2n+1}$x，
∴$\frac{a}=\frac{（n+1）x-a}{nx}=\frac{n+2}{2n+1}$，
∴CE：CF=（n+2）：（2n+1）．

點評 此題是相似形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，對稱的性質，相似三角形的判定和性質，解（1）的關鍵是得出EF∥AB，解（2）的關鍵是得出∠BDF=∠DEA，難點是對$\frac{a}=\frac{3x-a}{2x}=\frac{x}{3x-b}$的處理，解（3）的關鍵是對$\frac{a}=\frac{（n+1）x-a}{nx}=\frac{x}{（n+1）x-b}$的處理，是一道計算量比較大的題目．