Question

14．已知如圖，A（-4，0）、C（0，4），點B在x軸正半軸上，AC=BC，D點坐標(biāo)為（3，0），連接CD，將△BCD沿直線BC折，E點為D點的對應(yīng)點．
（1）求點E的坐標(biāo)；
（2）點P為線段AB上一動點，以每秒2個單位的速度從A點向B點運動，運動到B點停止運動，連接CP，設(shè)P點的運動時間為t秒，△CDP的面積為S，用含t的代數(shù)式表示S；
（3）在（2）的條件下，連接PE，l為過C點且平行于x軸的直線，在P的運動過程中，l上是否存在一點Q，使△PQE為等腰直角三角形？若存在，求出點Q坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得B點坐標(biāo)，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得E點坐標(biāo)；
（2）根據(jù)線段的和差，可得DP的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（3）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得DQ的長，根據(jù)線段的和差，可得答案．

解答 解：（1）由AC=BC，OC⊥AB，得
OB=OB=4，即B（4，0）．
由D（3，0），得
BD=4-3=1，
由翻折的性質(zhì)，得
DE=DB=1，
即E（4，1）；
（2）當(dāng)0≤t≤3.5時，DP=7-2t，OC=4，S=$\frac{1}{2}$DP•OC=$\frac{1}{2}$×4×（7-2t）=14-4t；
當(dāng)3.5＜t≤4時，DP=2t-7，OC=4，S=$\frac{1}{2}$DP•OC=$\frac{1}{2}$×4×（2t-7）=4t-14；
（3）l上存在一點Q，使△PQE為等腰直角三角形，
如圖：
，
PE=EQ，∠PEQ=90°，
∠PEB+∠QEF=90°，∠EQD+∠QEF=90°，
∠PEB=∠EQF．
在△PEB和△EQF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEB=∠EDF}\\{∠PBE=∠EFQ}\\{PE=PQ}\end{array}\right.$，
△PEB≌△EQF（AAS），
FQ=BE=1．
F（4，4），
4-1=3，
Q（3，4）．

點評 本題考查了一次函數(shù)綜合題，利用了等腰三角形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)；三角形的面積公式，分類討論是解題關(guān)鍵；全等三角形的判定與性質(zhì)．