Question

9．如圖：長方形紙片ABCD放置在平面直角坐標系中，A與原點O 重合．B、D分別在x軸和y軸上，AB=8，AD=6．
（1）直接寫出C點坐標；
（2）如圖①折疊△CEB使B落在線段AC的B處，折痕為CE，求E點坐標；
（3）如圖②點P在線段DC上，若△PAB為等腰三角形，試求滿足條件的所有P點坐標．

Answer 1

分析 （1）根據四邊形ABCD是矩形，于是得到CD=AB=8，BC=AD=6，∠ADC=∠CBA=90°，即可求得C（8，6）；
（2）在Rt△ABC中，根據勾股定理得到AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，根據折疊的性質得到CB₁=6，B₁E=BE，∠CB₁E=∠EBC=90°，于是得到AB₁=4，∠AB₁E=90°，根據勾股定理列方程即可得到結論；
（3）如圖②，若△PAB為等腰三角形：①當PA=PB，即點P在AB的垂直平分線上，于是得到P（4，6）；②當AB=AP=8，根據勾股定理得到DP=$\sqrt{A{P}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，求得P（2$\sqrt{7}$，6）；③當BA=BP=8，根據勾股定理得到即CP²+6²=8²求得P（8-2$\sqrt{7}$，0）．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=8，BC=AD=6，∠ADC=∠CBA=90°，
∴C（8，6）；

（2）在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=10，
∵折疊△CEB使B落在線段AC的B處，
∴△BCE≌△B₁CE，
∴CB₁=6，B₁E=BE，∠CB₁E=∠EBC=90°，
∴AB₁=4，∠AB₁E=90°，
∴AE²=AB₁²+B₁E²，
即AE²=4²+（8-AE）²，
解得：AE=5，∴E（5，0）；

（3）如圖②，若△PAB為等腰三角形，
①當PA=PB，即點P在AB的垂直平分線上，
∴P（4，6）；
②當AB=AP=8，
∴DP=$\sqrt{A{P}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{6}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴P（2$\sqrt{7}$，6）；
③當BA=BP=8，CP²+BC²=BP²，即CP²+6²=8²，
∴PC=2$\sqrt{7}$，
∴DP=8-2$\sqrt{7}$，
∴P（8-2$\sqrt{7}$，0）；
綜上所述：若△PAB為等腰三角形，P點坐標為：（8-2$\sqrt{7}$，0），（4，0）（2$\sqrt{7}$，0）．

點評 本題考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，等腰三角形的判定和性質，求點的坐標，注意（3）要分類討論，不要漏解．