Question

7．如圖，已知拋物線l₁的頂點(diǎn)是P（-2，4），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)O（0，0）、A（t，0），平行于y軸的直線m與x軸交于點(diǎn)B（b，0），與拋物線l₁交于點(diǎn)M．
（1）求t的值及拋物線l₁的解析式；
（2）當(dāng)BM=4時(shí)，求b的值；
（3）把拋物線l₁繞點(diǎn)（0，1）旋轉(zhuǎn)180°，得到拋物線l₂．
①直接寫(xiě)出當(dāng)兩條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y都隨著x的增大而減小時(shí)，x的取值范圍．
②直線m與拋物線l₂交于點(diǎn)N，設(shè)線段MN的長(zhǎng)為n，求n與b的關(guān)系式，并求出線段MN的最小值及此時(shí)b的值．

Answer 1

分析 （1）先利用拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出t的值，進(jìn)而用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先確定出BM=4，再分兩種情況，利用點(diǎn)M的縱坐標(biāo)建立方程求解即可；
（3）先表示出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而確定出n與b的函數(shù)關(guān)系式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵拋物線l₁的頂點(diǎn)是P（-2，4），
∴對(duì)稱(chēng)軸為x=-2，
∴A（-4，0），
∴t=-4，
設(shè)拋物線l₁的解析式為y=a（x+2）²+4，
∵拋物線過(guò)點(diǎn)O，
∴4a+4=0，
∴a=-1，
∴拋物線l₁的解析式為y=-（x+2）²+4，

（2）∵點(diǎn)M在拋物線l₁上，
∴點(diǎn)B在x軸上，且BM=4，
①當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，M（b，-4），
∴-4=（b+2）²+4，
∴b=2±2$\sqrt{2}$，
②當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，M（b，4），
∴4=-（b+2）²，
∴b=-2，
∴當(dāng)BM=4時(shí)，b=-2或-2+2$\sqrt{2}$或-2-2$\sqrt{2}$；

（3）①
，
由圖象知，-2＜x＜2，

②∵點(diǎn)P關(guān)于（0，1）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P'（2，-2），
∴拋物線l₂的解析式為y=（x-2）²-2，
設(shè)點(diǎn)M（b，-（b+2）²+4），∴N（b，（b-2）²-2），
∴MN=n=（b-2）²-2-[-（b+2）²+4]=2b²+2，
∴當(dāng)b=0時(shí)，MN的最小值為2．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是用方程的思想解決問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題目．