Question

16．我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=p×q（p，q是正整數(shù)，且p≤q），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱p×q是n的最佳分解．并規(guī)定：F（n）=$\frac{p}{q}$．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因?yàn)?2-1＞6-2＞4-3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=$\frac{3}{4}$．
（1）如果一個(gè)正整數(shù)m是另外一個(gè)正整數(shù)n的平方，我們稱正整數(shù)m是完全平方數(shù)．
求證：對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m，總有F（m）=1；
（2）如果一個(gè)兩位正整數(shù)t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)），交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為36，那么我們稱這個(gè)數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”；
（3）在（2）所得“吉祥數(shù)”中，求F（t）的最大值．

Answer 1

分析 （1）對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m，設(shè)m=n²（n為正整數(shù)），找出m的最佳分解，確定出F（m）的值即可；
（2）設(shè)交換t的個(gè)位上數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′，則t′=10y+x，根據(jù)“吉祥數(shù)”的定義確定出x與y的關(guān)系式，進(jìn)而求出所求即可；
（3）利用“吉祥數(shù)”的定義分別求出各自的值，進(jìn)而確定出F（t）的最大值即可．

解答 解：（1）證明：對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m，設(shè)m=n²（n為正整數(shù)），
∵|n-n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴對(duì)任意一個(gè)完全平方數(shù)m，總有F（m）=$\frac{n}{n}$=1；
（2）設(shè)交換t的個(gè)位上數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為t′，則t′=10y+x，
∵t是“吉祥數(shù)”，
∴t′-t=（10y+x）-（10x+y）=9（y-x）=36，
∴y=x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)，
∴滿足“吉祥數(shù)”的有：15，26，37，48，59；
（3）F（15）=$\frac{3}{5}$，F(xiàn)（26）=$\frac{2}{13}$，F(xiàn)（37）=$\frac{1}{37}$，F(xiàn)（48）=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，F(xiàn)（59）=$\frac{1}{59}$，
∵$\frac{3}{4}$＞$\frac{3}{5}$＞$\frac{2}{13}$＞$\frac{1}{37}$＞$\frac{1}{59}$，
∴所有“吉祥數(shù)”中，F(xiàn)（t）的最大值為$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了因式分解的應(yīng)用，弄清題中“吉祥數(shù)”的定義是解本題的關(guān)鍵．