Question

1．如圖1，在直角坐標(biāo)系中，直線y=ax+b與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸分別交于點B、A，以B為直角頂點在直線AB的左側(cè)作等腰直角△ABC．
（1）若a=b=2，求點C的坐標(biāo)；
（2）如圖2，若AC交x軸于M，點D是線段CM上一點，以BD為邊在第二象限作正方形BDEF，連接BE、DF交于點Q，連AQ．試求$\frac{AQ}{BD}$的值；
（3）在（1）的條件下，y=kx+3k與直線AB交于點P，那么是否存在這樣的點P．使兩條直線相交所成的銳角不小于45°？若存在，求出點P的橫坐標(biāo)滿足的條件；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點C作CD⊥OB，垂足為D．由a、b的值得到一次函數(shù)的解析式，然后可求得點AB的坐標(biāo)，接下來證明△ABC為等腰直角三角形，△DCB≌△OBA，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知DC=OB=1，BD=OA=2，故此可得到點C的坐標(biāo)；
（2）連結(jié)AF、QA．首先證明△DCB≌△FAB，從而得到∠BDC=∠BFA，于是可判定點D、B、A、F四點共圓，則QD=QF=QB=QA，然后依據(jù)正方形的性質(zhì)可求得BD：QB，最后通過等量代換可得到問題的答案；
（3）如圖3所示：當(dāng)∠DPF=45時，過點D作DF⊥AB，垂足為F，過點P作PE⊥OB，垂足為E．由直線的解析式可知直線l必過點D（-3，0），接下來，證明△DFB∽△AOB，由相似三角形的性質(zhì)可求得BF、DF的長，從而得到BP的長，接下來證明△PEB∽△AOB可求得BE的長，從而得到點P的橫坐標(biāo)；如圖4所示：當(dāng)∠DPB=45°時，取OF=OB，過點F作FE⊥AB，垂足為E．依據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可知∠PDB=∠PBF，然后在△AOB中依據(jù)面積法可求得EF的長，然后由BF的長可求得BE的長，從而可得到tan∠EBF=$\frac{1}{3}$，于是得到k=$\frac{1}{3}$，最后將y=$\frac{1}{3}$x+1與y=2x+2聯(lián)立可求得點P的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)兩次求得的P的坐標(biāo)，可確定出點P的橫坐標(biāo)的取值范圍．

解答 解：（1）如圖1所示：過點C作CD⊥OB，垂足為D．

∵a=b=2，
∴直線AB的解析式為y=2x+2．
∵當(dāng)x=0時，y=2，
∴A（0，2）．
∴OA=2．
當(dāng)y=0時，2x+2=0，解得x=-1，
∴B（-1，0）．
∴OB=1．
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴BC=AB，∠CBD+∠AB0=90°．
又∵∠DCB+∠CBD=90°，
∴∠DCB=∠ABO．
在△DCB和△OBA中$\left\{\begin{array}{l}{∠CDB=∠BOA}\\{∠DCB=∠OBA}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△DCB≌△OBA．
∴DC=OB=1，BD=OA=2．
∴OD=3．
∴點C的坐標(biāo)為（-3，1）．
（2）如圖2所示，連結(jié)AF、QA．

∵∠DBF=∠CBA=90°，
∴∠DBF-∠CBF=∠CBA-∠CBF，即∠DBC=∠FBA．
在△DCB和△FAB中$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠DBC=∠FBA}\\{BD=BF}\end{array}\right.$，
∴△DCB≌△FAB．
∴∠BDC=∠BFA．
∴點D、B、A、F四點共圓．
∴QD=QF=QB=QA．
∵$\frac{QB}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{QA}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）如圖3所示：當(dāng)∠DPF=45時，過點D作DF⊥AB，垂足為F，過點P作PE⊥OB，垂足為E．

∵y=kx+3k=k（x+3）
∴當(dāng)x=-3時，y=0．
∴直線y=kx+3k必過點D（-3，0）．
∴BD=2．
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
∵∠DBF=∠ABO，∠DFB=∠AOB，
∴△DFB∽△AOB．
∴$\frac{DB}{AB}=\frac{FB}{OB}$=$\frac{DF}{AO}$即$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{BF}{1}$=$\frac{DF}{2}$，解得：BF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，DF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∵∠DPF=45°，∠DFP=90°，
∴DF=FP．
∴BP=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
∵∠PBE=∠ABO，∠PEB=∠AOB，
∴△PEB∽△AOB．
∴$\frac{BP}{AB}=\frac{BE}{OB}$，即$\frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{5}}=\frac{EB}{1}$，解得：BE=$\frac{6}{5}$．
∴點E的坐標(biāo)為（-$\frac{11}{5}$，0）．
如圖4所示：當(dāng)∠DPB=45°時，取OF=OB，過點F作FE⊥AB，垂足為E．

∵OB=OF，∠BOF=90°，
∴∠FBO=45°．
∵∠D+∠DPB=∠PBF+∠FBO，∠DPB=∠FBO=45°，
∴∠PDB=∠PBF．
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•OA=$\frac{1}{2}$OB•OF+$\frac{1}{2}$AB•EF，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×EF=$\frac{1}{2}$，解得：EF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∵BF=$\sqrt{O{B}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴BE=$\sqrt{B{F}^{2}-E{F}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
∴tan∠EBF=$\frac{EF}{EB}$=$\frac{1}{3}$．
∴tan∠PDB=$\frac{1}{3}$．
∴直線l的解析式為y=$\frac{1}{3}$x+1．
將y=$\frac{1}{3}$x+1與y=2x+2聯(lián)立，解得：x=-$\frac{3}{5}$．
所以當(dāng)-$\frac{11}{5}$≤p的橫坐標(biāo)≤-$\frac{3}{5}$時，使兩條直線相交所成的銳角不小于45°．

點評 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了相似三角形的性質(zhì)和判斷、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義，四點共圓的條件，得到△DCB≌△OBA是解答問題（1）的關(guān)鍵，證得點D、B、A、F四點共圓是解題答問題（2）的關(guān)鍵，找出圖3和圖4中的相似三角形，求得相關(guān)線段的長是解答問題的（3）的關(guān)鍵．