Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+1分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，交雙曲線$y=\frac{k}{x}（k≠0）$于點(diǎn)C（3，n）．拋物線$y=\frac{1}{2}{x^2}+bx+c$過點(diǎn)B，且與該雙曲線交于點(diǎn)D，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3．
（1）求該雙曲線與拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)E為該雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)F為該拋物線上一點(diǎn)，且E、F的縱坐標(biāo)均為2，求線段EF的長；
（3）若動(dòng)點(diǎn)M沿直線從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，再沿雙曲線從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)N．設(shè)線段MN的長度為d，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，直接寫出d的最大值，以及d隨m的增大而減小時(shí)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得B、C、D的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)值，可得相應(yīng)自變量的值，根據(jù)函數(shù)值相等的兩點(diǎn)間的距離是較大的橫坐較小的絕對(duì)值，可得答案；
（3）根據(jù)自變量相等的兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)x=3時(shí)，y=x+1=4，即C（3，4），當(dāng)x=0時(shí)，y=x+1=1，即B（0，1）．
將C點(diǎn)（3，4）代入雙曲線，得
4=$\frac{k}{3}$，解得k=12，
雙曲線的解析式為y=$\frac{12}{x}$，
當(dāng)y=3時(shí)，3=$\frac{12}{x}$，解得x=4，即D（4，3），
將B、D點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×{4}^{2}+4b+c=3}\\{c=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$．
拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1；
（2）當(dāng)y=2時(shí)，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+1=2，解得x₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，
即F₁（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，2），F(xiàn)₂（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，2）；
當(dāng)y=2時(shí)，2=$\frac{12}{x}$，解得x=6，即E（6，0），
EF₁=6-$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$=$\frac{9-\sqrt{17}}{2}$，
EF₂=6-$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$=$\frac{9+\sqrt{17}}{2}$；
（3）當(dāng)-1≤m≤0時(shí)，d=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+1-（m+1）=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{2}$m=$\frac{1}{2}$（m-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{25}{8}$
當(dāng)0＜m≤3時(shí)，d=m+1-（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+1）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{5}{2}$m=-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，當(dāng)m=$\frac{5}{2}$時(shí)，d_最大=$\frac{25}{8}$；
當(dāng)3＜m≤4時(shí)，d=$\frac{12}{m}$-（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+1），
d隨m的增大而減小時(shí)m的取值范圍是-1≤m≤0，$\frac{5}{2}$≤m≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合題，利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，函數(shù)值相等的兩點(diǎn)間的距離是較大的橫坐較小的絕對(duì)值，自變量相等的兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)：a＞0時(shí)，對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，a＜0時(shí)，對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減�。�