Question

7．如圖，在邊長為1的正方形中，被4段$\frac{1}{4}$圓弧所圍的陰影部分面積為1-$\sqrt{3}$+$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 先求出弓形AB的面積過A點(diǎn)作邊長為1的正方形的一邊的垂線，垂足為Q，作AH⊥OB于H，由OQ=$\frac{1}{2}$，OA=1得出∠OAQ=30°，根據(jù)直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠1=30°，同理可得∠2=30°，得到∠AOB=30°，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到AH=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$，OH=$\sqrt{3}$AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求出S_弓形AB=S_扇形OAB-S_△OAB=$\frac{π}{12}$-$\frac{1}{4}$，求出S_{正方形ABCD}=2-$\sqrt{3}$，最后利用圖中陰影部分的面積=4S_弓形AB+S_{正方形ABCD}進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：圖中陰影部分可分為四個(gè)相同的弓形和正方形ABCD，如圖，
過A點(diǎn)作邊長為1的正方形的一邊的垂線，垂足為Q，作AH⊥OB于H，
∵OQ=$\frac{1}{2}$，OA=1，
∴∠OAQ=30°，
∴∠1=30°，
同理可得∠2=30°，
∴∠AOB=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$，OH=$\sqrt{3}$AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×AH×OB=$\frac{1}{4}$，S_扇形OAB=$\frac{30•π•{1}^{2}}{360}$=$\frac{π}{12}$，
∴S_弓形AB=S_扇形OAB-S_△OAB=$\frac{π}{12}$-$\frac{1}{4}$，
在Rt△ABH中，BH=OB-OH=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AH=$\frac{1}{2}$，
∴AB²=BH²+AH²=2-$\sqrt{3}$，
∴S_{正方形ABCD}=2-$\sqrt{3}$，
∴圖中陰影部分的面積=4S_弓形AB+S_{正方形ABCD}=4×（$\frac{π}{12}$-$\frac{1}{4}$）+2-$\sqrt{3}$=1-$\sqrt{3}$+$\frac{π}{3}$．
故答案為：1-$\sqrt{3}$+$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了面積及等積變換：把不規(guī)則的幾何圖形的面積計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何圖形的面積的和或差；掌握扇形的面積公式以及含30°的直角三角形三邊的關(guān)系．