Question

5．如圖1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，點B在線段AE上，點C在線段AD上．
（1）請直接寫出線段BE與線段CD的關(guān)系：BE=CD且BE⊥CD；
（2）如圖2，將圖1中的△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角α（0＜α＜360°），
①（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由；
②當(dāng)AC=$\frac{1}{2}$ED時，探究在△ABC旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在這樣的角α，使以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出角α的度數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AE=AD，再根據(jù)等量關(guān)系可得線段BE與線段CD的關(guān)系；
（2）①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AE=AD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAE=∠CAD，根據(jù)SAS可證△BAE≌△CAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解；
②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠ABC=∠ADC=45°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．

解答 解：（1）∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，
∴AB=AC，AE=AD，
∴AE-AB=AD-AC，
∴BE=CD且BE⊥CD；

（2）①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，
∴AB=AC，AE=AD，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAE=∠CAD，
在△BAE與△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAD}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△CAD（SAS）
∴BE=CD；

②∵以A、B、C、D四點為頂點的四邊形是平行四邊形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ADC=45°，
∵AC=$\frac{1}{2}$ED，
∴AC=CD，
∴∠CAD=45°
或360°-90°-45°=225°，或360°-45°=315°
∴角α的度數(shù)是45°或225°或315°．
故答案為：BE=CD且BE⊥CD．

點評 考查了幾何變換綜合題，涉及的知識點有：等腰直角三角形的性質(zhì)，等量代換，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，綜合性較強，難度中等．