Question

19．學習（圖形的相似）后，我們可以借助探索兩個直角三角形全等的條件所獲得的經(jīng)驗，繼續(xù)探索兩個直角三角形相似的條件，“滿足斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等”，類似地，你可以得到：“滿足斜邊和一條直角邊的比相等的兩個直角三角形相似”，請結(jié)合下列所給圖形，寫出已知、求證，并完成說理過程．

Answer 1

分析 類似有斜邊和一條直角邊的比相等的兩個直角三角形相似．寫出已知和求證，設(shè)$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AC}{A′C′}$=k，則AB=kA′B′，AC=kA′C′，利用勾股定理得到$\frac{BC}{B′C′}$=k，則$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AC}{A′C′}$=$\frac{BC}{B′C′}$，然后根據(jù)三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似可判斷△ABC∽△A′B′C′．

解答 解：求證：斜邊和一條直角邊的比相等的兩個直角三角形相似．
已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AC}{A′C′}$，
求證：△ABC∽△A′B′C′．
證明：設(shè)$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AC}{A′C′}$=k，則AB=kA′B′，AC=kA′C′，
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{（kA′B′）^{2}-（kA′C′）^{2}}$=k$\sqrt{A′B{′}^{2}-A′C{′}^{2}}$，
在Rt△A′B′C′中，B′C′=$\sqrt{A′B{′}^{2}-A′C{′}^{2}}$，
則$\frac{BC}{B′C′}$=k，
所以$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AC}{A′C′}$=$\frac{BC}{B′C′}$，
所以△ABC∽△A′B′C′．
即斜邊和一條直角邊的比相等的兩個直角三角形相似．
故答案為斜邊和一條直角邊的比相等．

點評 本題考查了相似三角形的判定：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．也考查了勾股定理．