Question

14．如圖，點(diǎn)A，B是⊙O上兩點(diǎn)，點(diǎn)P是⊙O0上的動點(diǎn)（P與A，B不重合），連接AP，BP，過點(diǎn)O分別作OE⊥AP，OF⊥BP，點(diǎn)E、F分別是垂足．
（1）求證：∠OEF+∠OFE=∠P；
（2）EF=5，點(diǎn)O到AB的距離為2，求⊙O的半徑的長．

Answer 1

分析 （1）由三角形內(nèi)角和定理和四邊形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；
（2）由垂徑定理可以得到E、F分別是AP、BP的中點(diǎn)，然后利用中位線定理求出AB，過O作OC⊥AB于C，連接OB，利用垂徑定理和勾股定理即可求解．

解答 （1）證明：∵OE⊥AP，OF⊥BP，
∴∠OEP=∠OFP=90°，
∴∠P+∠EOF=360°-90°-90°=180°，
∵∠OEF+∠OFE+∠EOF=180°，
∴∠OEF+∠OFE=∠P；
（2）解：∵OE⊥AP，OF⊥BP，點(diǎn)E、F分別是垂足，
∴AE=EP，PF=BF，
∴EF是△ABP的中位線，
∴EF=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=2EF=10；
過O作OC⊥AB于C，連接OB，如圖所示：
則AC=BC=$\frac{1}{2}$AB=5，∠OCB=90°，
∴BC=5，
∴OB=$\sqrt{{2}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
∴⊙O的半徑為$\sqrt{29}$．

點(diǎn)評 此題考查了垂徑定理、三角形中位線定理、勾股定理、三角形內(nèi)角和定理、四邊形內(nèi)角和定理；解題時根據(jù)垂徑定理證明中位線，然后利用勾股定理計算即可解決問題（2）．