Question

8．如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，連接AE、BF，交點為G．可證：AE⊥BF；
（1）將△ABE繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB正好落在AE上，得到△AHM，如圖2，若AM和BF相交于點N，當正方形ABCD的面積為4時，求四邊形GHMN的面積．
（2）將△BCF沿BF對折，得到△BPF，如圖3，延長FP交BA的延長線于點Q，求sin∠BQP的值；

Answer 1

分析 （1）先求出正方形的邊長，再根據(jù)面積比等于相似邊長比的平方，求得S_△AGN=$\frac{4}{5}$，再利用S_{四邊形GHMN}=S_△AHM-S_△AGN求解；
（2）△BCF沿BF對折，得到△BPF，利用角的關(guān)系求出QF=QB，解出BP，QB求解．

解答 解：（1）∵正方形ABCD的面積為4，其邊長為2，由題意得：
∵∠BAE=∠EAM，AE⊥BF，
∴AN=AB=2，
∵∠AHM=90°，
∴GN∥HM，
∴△AGN∽△AHM，
∴$\frac{{S}_{△AGN}}{{S}_{△AHM}}=（\frac{AN}{AM}）^{2}$，
∴$\frac{{S}_{△AGN}}{1}=（\frac{2}{\sqrt{5}}）^{2}$，
∴S△AGN=$\frac{4}{5}$，
∴S四邊形GHMN=S_△AHM-S_△AGN=1-$\frac{4}{5}$=$\frac{1}{5}$，
∴四邊形GHMN的面積是$\frac{1}{5}$．
（2）根據(jù)題意得，F(xiàn)P=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
令PF=k（k＞0），則PB=2k
在Rt△BPQ中，設(shè)QB=x，
∴x²=（x-k）²+4k²，
∴x=$\frac{5k}{2}$，
∴sin=∠BQP=$\frac{BP}{QB}=\frac{2k}{\frac{5k}{2}}=\frac{4}{5}$．

點評 本題主要考查了四邊形的綜合題，解決的關(guān)鍵是明確三角形翻轉(zhuǎn)后邊的大小不變，找準對應邊，角的關(guān)系求解．