Question

12．如圖，拋物線l：y=$\frac{1}{2}$（x-h）²-2與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），將拋物線ι在x軸下方部分沿軸翻折，x軸上方的圖象保持不變，就組成了函數(shù)?的圖象．
（1）若點A的坐標為（1，0）．
①求拋物線l的表達式，并直接寫出當x為何值時，函數(shù)?的值y隨x的增大而增大；
②如圖2，若過A點的直線交函數(shù)?的圖象于另外兩點P，Q，且S_△ABQ=2S_△ABP，求點P的坐標；
（2）當2＜x＜3時，若函數(shù)f的值隨x的增大而增大，直接寫出h的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，由對稱性求點B的坐標，根據(jù)圖象寫出函數(shù)?的值y隨x的增大而增大（即呈上升趨勢）的x的取值；
②如圖2，作輔助線，構(gòu)建對稱點F和直角角三角形AQE，根據(jù)S_△ABQ=2S_△ABP，得QE=2PD，證明△PAD∽△QAE，則$\frac{AE}{AD}=\frac{QE}{PD}$，得AE=2AD，設(shè)AD=a，根據(jù)QE=2FD列方程可求得a的值，并計算P的坐標；
（2）先令y=0求拋物線與x軸的兩個交點坐標，根據(jù)圖象中呈上升趨勢的部分，有兩部分：分別討論，并列不等式或不等式組可得h的取值．

解答 解：（1）①把A（1，0）代入拋物線y=$\frac{1}{2}$（x-h）²-2中得：
$\frac{1}{2}$（x-h）²-2=0，
解得：h=3或h=-1，
∵點A在點B的左側(cè)，
∴h＞0，
∴h=3，
∴拋物線l的表達式為：y=$\frac{1}{2}$（x-3）²-2，
∴拋物線的對稱軸是：直線x=3，
由對稱性得：B（5，0），
由圖象可知：當1＜x＜3或x＞5時，函數(shù)?的值y隨x的增大而增大；
②如圖2，作PD⊥x軸于點D，延長PD交拋物線l于點F，作QE⊥x軸于E，則PD∥QE，
由對稱性得：DF=PD，
∵S_△ABQ=2S_△ABP，
∴$\frac{1}{2}$AB•QE=2×$\frac{1}{2}$AB•PD，
∴QE=2PD，
∵PD∥QE，
∴△PAD∽△QAE，
∴$\frac{AE}{AD}=\frac{QE}{PD}$，
∴AE=2AD，
設(shè)AD=a，則OD=1+a，OE=1+2a，P（1+a，-[$\frac{1}{2}$（1+a-3）²-2]），
∵點F、Q在拋物線l上，
∴PD=DF=-[$\frac{1}{2}$（1+a-3）²-2]，
QE=$\frac{1}{2}$（1+2a-3）²-2，
∴$\frac{1}{2}$（1+2a-3）²-2=-2[$\frac{1}{2}$（1+a-3）²-2]，
解得：a=$\frac{8}{3}$或a=0（舍），
∴P（$\frac{11}{3}$，$\frac{16}{9}$）；
（2）當y=0時，$\frac{1}{2}$（x-h）²-2=0，
解得：x=h+2或h-2，
∵點A在點B的左側(cè)，且h＞0，
∴A（h-2，0），B（h+2，0），
如圖3，作拋物線的對稱軸交拋物線于點C，
分兩種情況：
①由圖象可知：圖象f在AC段時，函數(shù)f的值隨x的增大而增大，
則$\left\{\begin{array}{l}{h-2≤2}\\{h≥3}\end{array}\right.$，
∴3≤h≤4，
②由圖象可知：圖象f點B的右側(cè)時，函數(shù)f的值隨x的增大而增大，
即：h+2≤2，
h≤0，
綜上所述，當3≤h≤4或h≤0時，函數(shù)f的值隨x的增大而增大．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的增減性問題、三角形相似的性質(zhì)和判定，與方程相結(jié)合，找等量關(guān)系，第二問還運用了數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．