Question

11．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，過A、C兩點(diǎn)作⊙O交直角邊AB于另一點(diǎn)E，交斜邊BC于另一點(diǎn)F，直徑AD交BC于點(diǎn)G．
（1）求證：AG²=GF•GB；
（2）當(dāng)D為CF的中點(diǎn)時(shí)，AG=4，BF=6，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）連接CD，由AD是⊙O的直徑，得到∠D+∠CAD=90°，由于∠CAD+∠DAE=90°，于是得到∠D=∠DAE，根據(jù)圓周角定理得到∠D=∠AFC，推出∠DAE=∠AFC，證得△AGF∽△BGA，得到比例式，即可得到結(jié)論；
（2）連接CE，根據(jù)圓周角定理得到CE是⊙O的直徑，由AG²=GF•GB，證得GF=2，根據(jù)垂徑定理得到AD⊥CF，CG=FG=2，根據(jù)射影定理得到CG²=DG•AG，求得DG=1，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接CD，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAD+∠DAE=90°，
∴∠D=∠DAE，
∵∠D=∠AFC，
∴∠DAE=∠AFC，
∵∠AGF=∠AGF，
∴△AGF∽△BGA，
∴$\frac{AG}{BG}=\frac{GF}{AG}$，
∴AG²=GF•GB；

（2）連接CE，
∵∠BAC=90°，
∴CE是⊙O的直徑，
∵AG²=GF•GB，
∴4²=GF（GF+6），
∴GF=2，（負(fù)值舍去），
∵D為弧CF的中點(diǎn)，
∴AD⊥CF，CG=FG=2，
∴CG²=DG•AG，
∴DG=1，
∴CE=AD=5，AC=$\sqrt{A{G}^{2}+C{G}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AE=$\sqrt{C{E}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，垂徑定理，射影定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．