Question

9．如圖，從圓O外的兩點C和D分別引圓的兩條切線DA，DC，CB，切點分別是A、E和B，AB是圓O的直徑，連接OC、OD，延長DO交CB的延長線于點F，給出如下結論：①AD+BC=CD；②OD²=DE•CD；③CO=DF；④△AOD∽△BCO，其中正確的是①②④．（把所有正確的序號都填在橫線上）．

Answer 1

分析 ①根據切線長定理得出；
②連接OE，證明△DOE∽△DCO，列比列式；
③畫圖說明；
④利用兩角相等證明兩三角形相似．

解答 解：①∵DA，DC，CB為⊙O的切線，切點分別是A、E和B，
∴AD=DE，EC=BC
∴AD+BC=DE+EC=CD，
故選項①正確；
②如圖1，連接OE，則OE⊥DC，
由切線可知：∠DAB=∠CBA=90°，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠ADC+∠BCD=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠DOC=90°，
∵∠1=∠1，∠DOC=∠DEO=90°，
∴△DOE∽△DCO，
∴$\frac{OD}{CD}=\frac{DE}{OD}$，
∴OD²=DE•CD，
故選項②正確；
③如圖1和圖2，因為C和D為兩個動點，發(fā)現(xiàn)隨著C的改變，CO的長也隨之改變，點C離點B的距離越近，CO越短，但DF越長，所以CO≠DF；
故選項③不正確；
④∵∠DOA+∠2=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠DOA=∠4，
∵∠DAB=∠ABC，
∴△AOD∽△BCO，
故選項④正確；
故答案為：①②④．

點評 本題考查了切線長定理和相似三角形的性質及判定，證明一條線段等于兩條線段的和時，把一條線段分成兩條線段，分別與兩條線段對應相等得出；證明乘積式時，先化成比例式，證明所在的三角形相似．