Question

17．如圖，以△ABC的三邊為邊分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF，則下列結論：①①△EBF≌△DFC；②四邊形AEFD為平行四邊形；③當AB=AC時，四邊形AEFD是菱形；④當∠BAC=90°時，四邊形AEFD是矩形．其中正確的結論有（　　）個．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①由△ABE與△BCF都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到兩對邊相等，∠ABE=∠CBF=60°，利用等式的性質得到夾角相等，利用SAS得到△EBF與△DFC全等；
②利用（1）中全等三角形對應邊相等得到EF=AC，再由三角形ADC為等邊三角形得到三邊相等，等量代換得到EF=AD，AE=DF，利用對邊相等的四邊形為平行四邊形得到AEFD為平行四邊形；
③當AE=AD時，ADFE是菱形，可以用鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷即可；
④當∠BAC=150°，由此可求得∠EAD的度數，則可得ADFE是矩形，由此即可判斷；

解答 解：∵△ABE、△BCF為等邊三角形，
∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，
∴∠ABE-∠ABF=∠FBC-∠ABF，即∠CBA=∠FBE，
在△ABC和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=EB}\\{∠CBA=∠FBE}\\{BC=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EBF（SAS），
∴EF=AC，
又∵△ADC為等邊三角形，
∴CD=AD=AC，
∴EF=AD=DC，
同理可得△ABC≌△DFC，
∴DF=AB=AE=DF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形；
∴∠FEA=∠ADF，
∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF，
在△FEB和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=DC}\\{∠FEB=∠CDF}\\{EB=FD}\end{array}\right.$．
∴△EBF≌△DFC（SAS），故①正確，
∴EB=DF，EF=DC．
∵△ACD和△ABE為等邊三角形，
∴AD=DC，AE=BE，
∴AD=EF，AE=DF
∴四邊形AEFD是平行四邊形；故②正確，
若AB=AC，則AE=AD，四邊形AEFD是菱形此，
故△ABC滿足AB=AC時，四邊形AEFD是菱形；故③正確
若∠BAC=150°，則平行四邊形AEFD是矩形；
由（1）知四邊形AEFD是平行四邊形，則∠EAD=90°時，可得平行四邊形AEFD是矩形，
∴∠BAC=360°-60°-60°-90°=150°，
即△ABC滿足∠BAC=150°時，四邊形AEFD是矩形；
∴∠BAC=120°，四邊形AEFD不是矩形；故④錯誤，
故選C．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，平行四邊形的判定，以及正方形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．