Question

7．OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為原點，點A在x軸上，點C在y軸上，OA=10，OC=6．
（1）如圖，在AB取一點M，使得△CBM沿CM翻折后，點B落在軸上，記作B點，求B點的坐標；
（2）求折痕CM所在直線的解析式；
（3）作痕BG∥AB交CM于點G，若拋物線y=$\frac{1}{6}$x²+m過點G，求拋物線的解析式；
（4）判斷以原點O圓心，OG為半徑的圓與拋物線除交點G外，是否還有交點？若有，請直接寫出交點坐標．

Answer 1

分析 （1）求B′的坐標就是求OB′的長，也就要知道CB′的長，而根據(jù)折疊的性質(zhì)可知CB′=CB，而四邊形OCBA是矩形，可得出CB=OA，也就得出了CB′=OA，即可求出OB′的長，也就求出了B′的坐標；
（2）求CM所在直線的解析式，根據(jù)OC的長可得出C的坐標，關(guān)鍵是求M點的坐標，M的橫坐標與A的橫坐標相同，那么就要求出M的縱坐標即AM的長，（1）中已求得了OB′的長，也就求出了AB′的長，可用AM表示出MB也就是MB′的長，然后在直角三角形AB′M中用勾股定理求出AM的長，也就得出了M的坐標，然后用待定系數(shù)法求出CM所在直線的解析式；
（3）由（1）中已經(jīng)求得了OB′的長，也就是G的橫坐標，然后代入CM所在直線的解析式中求出G點的坐標，然后代入拋物線的解析式中求出m的值，即可得出拋物線的解析式；
（4）根據(jù)拋物線和圓的對稱性可得出拋物線與圓的另外一個交點就應該是G關(guān)于y軸的對稱點．

解答 解：（1）∵△CB'M≌△CBM
∴CB'=CB=OA=10
∴OB'=$\sqrt{{OA}^{2}-{OC}^{2}}$=$\sqrt{{10}^{2}-{6}^{2}}$=8
∴B'（8，0）；

（2）設AM=n，則MB'=BM=6-n
AB'=10-8=2
∴n²+2²=（6-n）²
解得n=$\frac{8}{3}$．
∴M（10，$\frac{8}{3}$）、C（0，6）
設直線CM解析式為y=kx+b
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{8}{3}=10k+b\\ 6=b\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{3}\\ b=6\end{array}\right.$．
∴直線CM的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+6；

（3）設G（8，a）
∴a=-$\frac{1}{3}$×8+6=$\frac{10}{3}$，
∴G（8，$\frac{10}{3}$）
∴$\frac{10}{3}$=$\frac{1}{6}$×8²+m
∴m=-$\frac{22}{3}$，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{22}{3}$；

（4）除交點G外，另有交點為點G關(guān)于y軸的對稱點．
其坐標為（-8，$\frac{10}{3}$）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)的應用，以及用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等知識點．