Question

17．探究，觀察下列各式：$\frac{1}{1×2}$=1$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…
（1）請(qǐng)仿照以上的各式的變形方式，對(duì)下列各題進(jìn)行變形探究：
①$\frac{1}{2×4}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）；②$\frac{1}{4×6}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$）；③$\frac{1}{98×100}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{98}$-$\frac{1}{100}$）
（2）已知|x-1|+（y-2）²=0，求$\frac{1}{xy}$+$\frac{1}{（x+1）（y+1）}$+…+$\frac{1}{（x+2008）（y+2008）}$的值．

Answer 1

分析 （1）把各個(gè)分?jǐn)?shù)拆項(xiàng)即可求解；
（2）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得x，y，再利用得出的規(guī)律化簡(jiǎn)原式，抵消合并即可得到結(jié)果．

解答 解：（1）①$\frac{1}{2×4}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）；②$\frac{1}{4×6}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$）；③$\frac{1}{98×100}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{98}$-$\frac{1}{100}$）；
（2）∵|x-1|+（y-2）²=0，
∴x-1=0，y-2=0，
解得x=1，y=2，
∴$\frac{1}{xy}$+$\frac{1}{（x+1）（y+1）}$+…+$\frac{1}{（x+2008）（y+2008）}$
=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{2009×2010}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2009}$-$\frac{1}{2010}$
=1-$\frac{1}{2010}$
=$\frac{2009}{2010}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）； $\frac{1}{2}$（$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$）；$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{98}$-$\frac{1}{100}$）．

點(diǎn)評(píng) 考查了代數(shù)式求值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，在解答中注意觀察題目的變化規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律解答能使運(yùn)算簡(jiǎn)便，并且得心應(yīng)手．