Question

已知，關(guān)于x的二次函數(shù)y=2x²+4x+k-1（k為正整數(shù)）．
（1）若二次函數(shù)y=2x²+4x+k-1的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，求k的值．
（2）若關(guān)于x的一元二次方程2x²+4x+k-1=0（k為正整數(shù)）有兩個不相等的整數(shù)解，點(diǎn)A（m，y₁），B（m+1，y₂），C（m+2，y₃）都在二次函數(shù)y=2x²+4x+k-1（k為正整數(shù)）圖象上，求使y₁≤y₂≤y₃成立的m的取值范圍．
（3）將（2）中的拋物線平移，當(dāng)頂點(diǎn)至原點(diǎn)時，直線y=2x+b交拋物線于A（-1，n）、B（2，t）兩點(diǎn)，問在y軸上是否存在一點(diǎn)C，使得△ABC的內(nèi)心在y軸上？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)y=2x²+4x+k-1的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)可得到關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍，進(jìn)而可得出k的值；
（2）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程2x²+4x+k-1=0（k為正整數(shù)）有兩個不相等的整數(shù)解可知k=1，故可得出y₁，y₂，y₃的值，根據(jù)y₁≤y₂≤y₃即可得出m的取值范圍；
（3）根據(jù)內(nèi)心在y軸上，可知∠ACO=∠BCO，找A點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A'（1，2），直線A'B：y=6x-4，與y軸的交點(diǎn)即為所求C點(diǎn)．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=2x²+4x+k-1的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，
∴△=16-8（k-1）＞0，
∴16-8k+8＞0．
∵k為正整數(shù)，
∴k=1、2；

（2）∵關(guān)于x的一元二次方程2x²+4x+k-1=0（k為正整數(shù)）有兩個不相等的整數(shù)解，
∴k=1，
∴y=2x²+4x，
∴y₁=2m²+4m，
y₂=2（m+1）²+4（m+1），
y₃=2（m+2）²+4（m+2），
∴

2m2+4m≤2(m+1)2+4(m+1) 2(m+1)2+4(m+1)≤2(m+2)+4(m+2)

∴m≥-

3

2

；

（3）存在
∵內(nèi)心在y軸上，
∴∠ACO=∠BCO，找A點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A'（1，2），直線A'B：y=6x-4，與y軸的交點(diǎn)即為所求C點(diǎn)，坐標(biāo)為（0，-4）．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)與一元二次方程解得關(guān)系、三角形的內(nèi)心等知識，難度適中．