Question

2．將一副直角三角板按圖1放置，∠ACB=∠CDE=90°，AB邊交直線DE于點M，∠CAB=60°，∠ABC=30°，∠ECD=45°，設∠BMD=α，∠BCE=β．
（1）如圖1，猜想α和β之間的關系，并證明你的猜想；
（2）當其中一個三角板旋轉(zhuǎn)時，如圖2，直接寫出α和β之間的關系：α+β=165°；
（3）如圖3，作∠AME的角平分線交CE于點F，當β=14°，求∠CFM的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由∠BMD+∠B=∠BCE+∠DEC可得α+30°=β+45°，即α-β=15°；
（2）由∠BOM=∠COE=180°-∠BCE-∠DEC=135°-β，且∠BMD=∠BOM+∠B，可得α=135°-β+30°，即α+β=165°，
（3）由（2）中結(jié)論得α=165°-β=151°，即∠DMB=∠AME=151°，根據(jù)MF平分∠AME知∠EMF=$\frac{1}{2}$∠AME=75.5°，結(jié)合∠DEC=45°可得∠CFM=∠EMF+∠DEC=120.5°．

解答 解：（1）α-β=15°，
∵∠BMD+∠B=∠BCE+∠DEC，
∴α+30°=β+45°，
∴α-β=15°；

（2）如圖，

∵∠BCE=β，∠DEC=45°，
∴∠BOM=∠COE=180°-∠BCE-∠DEC=135°-β，
又∵∠B=30°，
∴∠BMD=∠BOM+∠B，即α=135°-β+30°，
∴α+β=165°，
故答案為：α+β=165°；

（3）∵β=14°，
∴α=165°-β=151°，即∠DMB=∠AME=151°，
∵MF平分∠AME，
∴∠EMF=$\frac{1}{2}$∠AME=75.5°，
∵∠DEC=45°，
∴∠CFM=∠EMF+∠DEC=120.5°．

點評 本題主要考查角的計算、角平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定義及外角的性質(zhì)，根據(jù)題意結(jié)合圖形將∠BMD和∠BCE利用三角形的內(nèi)角和定理及外交的性質(zhì)聯(lián)系到一起是解題的關鍵．