Question

7．利用圖形整體面積等于部分面積之和可以證明勾股定理．

①如圖（1）所示可以證明勾股定理，因?yàn)榇笳�方形面積表示為（a+b）²，又可表示為c²+4×$\frac{1}{2}$ab，所以（a+b）²=c²+4×$\frac{1}{2}$ab，所以a²+b²+2ab=c²+2ab，所以a²+b²=c²，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
②美國(guó)第20屆總統(tǒng)伽菲爾德利用圖（2）證明了勾股定理，請(qǐng)你用①的方法證明勾股定理；
③如圖（3）請(qǐng)你用①的方法證明勾股定理；
④如圖（4）請(qǐng)你用①的方法證明勾股定理．

Answer 1

分析 ②梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可利用三個(gè)直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可得證；
③連結(jié)DB，過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF=EC=b-a根據(jù)S_{四邊形ADCB}=S_△ACD+S_△ABC，S_{四邊形ADCB}=S_△ADB+S_△DCB列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可得證；
④根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，列出等式化簡(jiǎn)即可得出勾股定理的表達(dá)式．．

解答 解：②梯形的面積為$\frac{1}{2}$（a+b）（a+b）=$\frac{1}{2}$a²+ab+$\frac{1}{2}$b²，
也可利用表示為$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$ab，
∴$\frac{1}{2}$a²+ab+$\frac{1}{2}$b²=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$ab，即a²+b²=c²
②連結(jié)DB，過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF，則DF=EC=b-a
∵S_{四邊形ADCB}=S_△ACD+S_△ABC=$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab．
又∵S_{四邊形ADCB}=S_△ADB+S_△DCB=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a）
∴$\frac{1}{2}$b²+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$a（b-a），
∴a²+b²=c²；
④根據(jù)題意，中間小正方形的面積c²=（a+b）²-4×$\frac{1}{2}$×ab=a²+b²；
即在直角三角形中斜邊的平方等于兩直角邊的平方和．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了勾股定理的證明，勾股定理，多項(xiàng)式的乘法的運(yùn)用以及由多項(xiàng)式畫(huà)圖形的創(chuàng)新題型，此類(lèi)證明要轉(zhuǎn)化成同一個(gè)圖形的兩種表示方法，從而轉(zhuǎn)化成方程達(dá)到證明的結(jié)果．