Question

18．如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE∥AB，如圖點D在AC上（與A、C不重合），點E在BC上．
（1）當△DEC的周長與四邊形DABE的周長相等時，求DC的長．
（2）當△DEC的面積與四邊形DABE的面積相等時，求DC的長．

Answer 1

分析 （1）由△CDE的周長與四邊形DABE的周長相等，可得CD+CE=$\frac{1}{2}$×△ABC的周長，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，列出方程式求得答案．
（2）由DE∥AB，可得△DCE∽△ACB，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案；

解答 解：（1）∵△CDE的周長與四邊形DABE的周長相等，
∴CD+DE+CE=AD+AB+BE+DE，
∴CD+CE=AD+AB+BE，
∴CD+CE=$\frac{1}{2}$×△ABC的周長，
∵在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，
∴CD+CE=12，
∵DE∥AB，
∴△DCE∽△ACB，
∴$\frac{CD}{CA}$=$\frac{CE}{CB}$，
即$\frac{CD}{4}$=$\frac{12-CD}{6}$，
解得：CD=4.8；

（2）∵DE∥AB，
∴△DCE∽△ACB，
∴$\frac{{S}_{△DCE}}{{S}_{△ACB}}$=$（\frac{CD}{AC}）^{2}$，
∵△CDE的面積與四邊形DABE的面積相等，
∴$（\frac{CD}{AC}）^{2}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∵AC=8，
∴CD=4$\sqrt{2}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的運用．相似三角形的面積的比等于相似比的平方，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．