Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分線CH⊥AB于點(diǎn)H，BH=3AH，且四邊形AHCD的面積為21，求△HBC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：梯形

專題：

分析：延長BA與CD，兩延長線交于點(diǎn)F，由CH垂直于BF，得到一對直角相等，由CH為角平分線得到一對角相等，再由CH為公共邊，利用ASA可得出三角形CFH與三角形CBH全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到CF=CB，且BH=HF，由BH=3AH，得到HF=2AH，即A為HF的三等分點(diǎn)，由等腰三角形的兩底角相等得到一對角相等，再由兩直線平行得到一對同位角相等，等量代換并利用等角對等邊得到三角形AFD為等腰三角形，且三角形AFD與三角形BFC相似，相似比為1：6，可得出面積之比為1：36，設(shè)三角形AFD的面積為x，則三角形BFC的面積為36x，可得出三角形EFC的面積為18x，再由四邊形AHCD的面積為7，由四邊形AHCD的面積+三角形AFD的面積等于三角形HFC的面積列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，18x即為所求．

解答：解：延長BA，延長CD，兩延長線交于點(diǎn)F，如圖所示：
∵CH⊥BF，
∴∠CHF=∠CHB=90°，
∵CH為∠BCD的平分線，
∴∠FCH=∠BCH，
在△FCH和△BCH中，

∠FCH=∠BCH CH=CH ∠CHF=∠CHB

，
∴△FCH≌△BCH（ASA），
∴CF=CB，BH=FH，
∴∠F=∠B，
∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠B，
∴∠F=∠FAD，
∴△AFD為等腰三角形，
又∵BE=3AH，
∴EF=3AH，即A為HF的三等分點(diǎn)，
∴△AFD∽△BFC，且相似比為1：6，
∴S_△AFD：S_△BFC=1：36，
設(shè)S_△AFD=x，則S_△BFC=36x，即S_△HFC=18x，
由四邊形AHCD的面積為21，得到S_△HFC=x+21，
∴18x=x+21，
解得：x=

21

17

，
∴S_△HBC=18x=

378

17

．

點(diǎn)評：此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．