Question

8．如圖，D為⊙O上一點，點C在直線BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若BC=8cm，tan∠CDA=$\frac{1}{2}$，求⊙O的半徑；
（3）在（2）條件下，過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，連接OE，求四邊形OEDA的面積．

Answer 1

分析 （1）要證明CD是⊙O的切線，只需要連接OD，證明∠ODC=90°即可，由∠CDA=∠CBD，∠BDA=90°，OA=OD得到∠ODA=∠OAD，然后進行轉(zhuǎn)化即可得到∠ODC=90°，本題得以解決；
（2）根據(jù)題意可以得到△CDA和△CBD相似，然后根據(jù)BC=8cm，tan∠CDA=$\frac{1}{2}$，∠CDA=∠CBD，可以求得CD、CA的長，從而可以求得BA的長，進而可以得到⊙O的半徑；
（3）由題意可得，∠EBC=90°，可以證明△EBC和△ODC相似，從而可以求得EB的長，然后根據(jù)四邊形OEDA的面積等于△EBC的面積減去△EBO的面積再減去△DAC的面積，從而可以得到四邊形OEDA的面積，本題得以解決．

解答 （1）證明：連接OD，如右圖所示，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BDA=90°，
又∵OD=OA，∠CDA=∠CBD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠CBD+∠OAD=180°-∠BDA=90°，
∴∠ODA+∠CDA=∠OAD+∠CDA=90°，
∴∠ODC=90°，
即CD是⊙O的切線；
（2）解：∵∠DCA=∠BCD，∠CDA=∠CBD，
∴△CDA∽△CBD，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{CA}{CD}=\frac{DA}{BD}$，
又∵BC=8cm，tan∠CDA=$\frac{1}{2}$，∠CDA=∠CBD，∠BDA=90°，
∴tan∠CBD=$\frac{DA}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CD}{CB}=\frac{CA}{CD}=\frac{DA}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CD}{8}=\frac{CA}{CD}=\frac{1}{2}$，
解得，CD=4，CA=2，
∴BA=CB-CA=8-2=6，
∴OB=3，
即⊙O的半徑是3cm；
（3）作DF⊥BC于點F，如右上圖所示
由已知可得，∠ODC=∠EBC=90°，∠DCO=∠BCE，
∴△DCO∽△BCE，
∴$\frac{OD}{EB}=\frac{CD}{CB}$，
∵OD=3，CD=4，CB=8，
∴EB=6，
又∵CO=CB-OB=8-3=5，OD=3，CD=4，∠ODC=90°，DF⊥OC，
∴$\frac{CO•DF}{2}=\frac{OD•CD}{2}$，
解得DF=2.4，
∴S_{四邊形OEDA}=S_△EBC-S_△EBO-S_△DAC=$\frac{BC•EB}{2}-\frac{EB•OB}{2}-\frac{CA•DF}{2}$=$\frac{8×6}{2}-\frac{6×3}{2}-\frac{2×2.4}{2}=12.6c{m}^{2}$，
即四邊形OEDA的面積是12.6cm²．

點評 本題考查切線的判定、銳角三角函數(shù)、相似三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、面積法中割補法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，畫出相應(yīng)的圖形，找出所求問題需要的條件，運用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．