Question

12．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=2x+b的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C（-2，0），點A的坐標為（n，6）．
（1）求該反比例函數(shù)的解析式；
（2）求點B的坐標，寫出一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時自變量x的取值范圍；
（3）若點E為x軸上使△ACE為直角三角形的一點，求點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求得一次函數(shù)表達式，進而求得A（ 1，6），代入y=$\frac{k}{x}$（k≠0）利用待定系數(shù)法即可求得．
（2）聯(lián)立方程，解方程組即可求得B的坐標，根據(jù)交點坐標即可求得一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時自變量x的取值范圍；
（3）分兩種情況分別討論即可求得．

解答 解：（1）∵C（-2，0）在直線 y=2x+b 上，解得b=4，
∴一次函數(shù)表達式為 y=2x+4，
∵A（ n，6）在直線 y=2x+4 上，解得n=1
∴A（ 1，6）
又∵點A（ 1，6）在反比例函數(shù)圖象上，解得k=6
∴反比例函數(shù)表達式為 y=$\frac{6}{x}$；
（ 2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{6}{x}}\\{y=2x+4}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{2}=6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-3}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$
∴A（ 1，6）B（-3，-2）．
由圖象知，一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時自變量x的取值范圍為-3＜x＜0或x＞1；
（ 3）∵∠ACE為銳角，
∴分兩種情況討論：
①∠AEC=90°時，E₁ （ 1，0）
②∠EAC=90°時，△ACE₁∽△AE₁E₂
∴AE₁²=CE₁•E₁E₂
∴6²=3E₁E₂
∴E₁E₂=12
∴E₂ （ 13，0）
綜上所述E₁ （ 1，0）E₂ （ 13，0）．

點評 此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．其知識點有待定系數(shù)法求解析式，三角形相似的判定和性質(zhì)，解方程組等，此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．