Question

11．（1）如圖1，梯形ABCD中對角線交于點O，AD∥BC，請證明S_△AOB=S_△DOC；
（2）如圖2，等腰直角三角形ABC，AB=AC，∠A=90°，D為邊BC上一動點，過D分別作DE∥AC，DF∥AB，連結BF交DE于M，連結CE交DF于N，求證：DM=DN．
（提示：運用（1）中的結論，面積法）

Answer 1

分析 （1）在梯形ABCD中，AD∥BC，根據同底等高的三角形的面積相等得到S_△ABC=S_△DCB，根據面積的和差即可得到結論；
（2）連接MN，根據相似三角形的性質得到$\frac{FN}{DN}$=$\frac{FC}{ED}$，$\frac{FM}{BM}$=$\frac{FD}{BE}$，推出MN∥BC，根據等腰三角形的判定即可得到結論．

解答 證明：（1）∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴S_△ABC=S_△DCB，
∵S_△ABC-S_△BOC=S_△DCB-S_△BOC，
∴S_△AOB=S_△DOC；
（2）連接MN，
∵DE∥AC，
∴△EDN∽△CFN，
∴$\frac{FN}{DN}$=$\frac{FC}{ED}$，
同理$\frac{FM}{BM}$=$\frac{FD}{BE}$，
∵AB=AC，∠A=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，∵DE∥AC，DF∥AB，
∴∠BED=∠CFD=90°，∠BDE=∠CDF=45°，
∴FC=FD，ED=BE，∴$\frac{FC}{ED}$=$\frac{FD}{BE}$，
∴$\frac{FN}{DN}$=$\frac{FM}{BM}$，
∴MN∥BC，
∴∠NMD=∠BDE=45°，∠MND=∠CDF=45°，
∴∠NMD=∠MND，
∴DM=DN．

點評 本題考查了梯形，相似三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，知道同底等高的三角形的面積相等是解題的關鍵．