Question

1．如圖，拋物線y=-$\frac{4}{3}$x²+bx+c經(jīng)過A（3，0）、C（-1，0）兩點，與y軸交于B點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）D為第一象限拋物線上的一點，連接CD交AB于E，當(dāng)CE=2ED時，求點D的坐標(biāo)；
（3）點P以每秒3個單位長度的速度從點O出發(fā)，沿O→B→A勻速運動，同時點Q以每秒1個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿C→A勻速運動，運動時間為t秒，當(dāng)一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，是否存在t，使以A、P、Q為頂點的三角形為直角三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、C兩點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）作DF∥AC交AB于F，可證得△ACE∽△FDE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得FD，設(shè)出設(shè)D（a，-$\frac{4}{3}$a²+$\frac{8}{3}$a+4），則F（a-2，-$\frac{4}{3}$a²+$\frac{8}{3}$a+4），然后求得直線AB的解析式，將點B的坐標(biāo)代入直線AB的解析式可求得a的值；
（3）先依據(jù)題意分析可出可能出現(xiàn)的情況，然后畫出相應(yīng)的圖形，最后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{4}{3}$x²+bx+c經(jīng)過A（3，0）、C（-1，0）兩點，
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{4}×{3}^{2}+3b+c=0}\\{-\frac{3}{4}-b+c=0}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{8}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式是y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4；
（2）如圖1所示：作DF∥AC交AB于F．

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，將點A、B的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{4}{3}$，b=4．
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4．
∵FD∥AC，
∴△ACE∽△FDE，
∴$\frac{FD}{AC}$=$\frac{DE}{CE}$=$\frac{DE}{2DE}$=$\frac{1}{2}$，
∵AC=4
∴FD=2．
設(shè)D（a，-$\frac{4}{3}$a²+$\frac{8}{3}$a+4），則F（a-2，-$\frac{4}{3}$a²+$\frac{8}{3}$a+4），
將點F的坐標(biāo)代入直線AB的解析式得：-$\frac{4}{3}$a²+$\frac{8}{3}$a+4=-$\frac{4}{3}$（a-2）+4，解得a=1或a=2．
當(dāng)a=1時，-$\frac{4}{3}$a²+$\frac{8}{3}$a+4=$\frac{16}{3}$，即點D（1，$\frac{16}{3}$）．
當(dāng)a=2時，-$\frac{4}{3}$a²+$\frac{8}{3}$a+4=4，即點D（2，4）．
綜上所述點D的坐標(biāo)為（1，$\frac{16}{3}$）或（2，4）．
（3）存在．
如圖2所示：當(dāng)∠APA=90°時．

∵∠QPO+∠OPA=90°，∠QPO+∠PQO=90°，
∴∠OPA=∠PQO．
又∵∠POQ=∠POA=90°，
∴△PQO∽△APO．
∴$\frac{PO}{OQ}$=$\frac{OA}{OP}$，即$\frac{3t}{1-2t}$=$\frac{3}{3t}$，解得t=$\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$或t=$\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$（舍去）．
如圖3所示：當(dāng)點Q與點O重合時，△PQP為直角三角形．

∵OC=1，
∴t=1．
如圖4所示：當(dāng)∠PQA=90°時．

由題意可知QA=4-t，AP=9-3t．
∵cos∠BAO=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{AQ}{AP}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{4-t}{9-3t}$=$\frac{3}{5}$，解得：t=$\frac{7}{4}$．
如圖5所示：當(dāng)∠QPA=90°時．

由題意可知QA=4-t，AP=9-3t．
∵cos∠BAO=$\frac{AP}{QA}$=$\frac{OA}{AB}$═$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{9-3t}{4-t}$=$\frac{3}{5}$，解得：t=$\frac{11}{4}$．
綜上所述，當(dāng)t的值為$\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$或1或$\frac{7}{4}$或=$\frac{11}{4}$時，△PAQ為直角三角形．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)和判定，利用相似三角形的性質(zhì)表示出點F的坐標(biāo)是解答問題（2）的關(guān)鍵，根據(jù)題意畫出符合題意的所有圖形是解答問題（3）的關(guān)鍵．