Question

7．如圖，△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，∠BCD=∠CBE=30°，BE、CD相交于點(diǎn)O，OG⊥BC于點(diǎn)G，求證：OE+OD=2OG．

Answer 1

分析 延長OE至點(diǎn)M，使OM=OC，連接CM，由于∠BCD=∠CBE=30°，于是得到OB=OC，∠MOC=30°+30°=60°，推出△OMC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到CM=OC=OB，∠M=60°，于是得到∠DBO=∠MCE，推出△BOD≌△MCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DO=EM，證得OE+OD=OM=OB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到2OG=OB，即可得到結(jié)論．

解答 證明：延長OE至點(diǎn)M，使OM=OC，連接CM，
∵∠BCD=∠CBE=30°，
∴OB=OC，∠MOC=30°+30°=60°，
∵OM=OC，
∴△OMC為等邊三角形，
∴CM=OC=OB，∠M=60°，
∴∠DBO=∠MCE，
在△BOD和△CME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBO=∠MCE}\\{BO=CM}\\{∠DOB=∠M}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△MCE，
∴DO=EM，
∴OE+OD=OM=OB，
在Rt△OBG中，∠OBG=30°，OG⊥BC，
∴2OG=OB，
∴OE+OD=2OG．

點(diǎn)評 本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．