Question

11．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分線，以AB上一點O為圓心，AD為弦作⊙O．   
（1）在圖中作出⊙O；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）求證：BC為⊙O的切線；
（3）若AC=3，tanB=$\frac{3}{4}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）作圖思路：可做AD的垂直平分線，這條垂直平分線與AB的交點就是所求圓的圓心，這個圓心和A點或D點的距離就是圓的半徑．
（2）要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．本題中可先連接OD再證明OD⊥BC即可．
（3）在Rt△ABC中，由“tanB=$\frac{3}{4}$，AC=3”求得BC=4，AB=5；然后在Rt△ODB中，利用∠B的正切值求得$\frac{OD}{BD}$=$\frac{3}{4}$；設(shè)一份為x，則OD=OA=3x，則BD=4x，OB=5x．列出關(guān)于x的方程，解方程即可．

解答 解：（1）如圖；
（2）連接OD；
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC；
又∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AC，
∴∠ODC=∠C=90°，
∴BC為⊙O的切線．
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=$\frac{3}{4}$，AC=3，
∴BC=4，AB=5，
在Rt△ODB中，tanB=$\frac{OD}{BD}$=$\frac{3}{4}$，
設(shè)OD=OA=3x，則BD=4x，OB=5x，
∴AB=8x，
∴8x=5，
解得x=$\frac{5}{8}$，
∴半徑OA=$\frac{15}{8}$．

點評 本題考查了學(xué)生的運用基本作圖的知識作復(fù)雜圖的能力，切線的判定及解直角三角形等知識點．本題中作圖的理論依據(jù)是垂徑定理．