Question

20．已知⊙O為△DEF的內切圓，切點分別為A，B，C，$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$．
（1）如圖1，求證：BE=BF；
（2）如圖2，若tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，求sin∠EDF的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，得到AB=BC，根據(jù)弦切角定理求出∠EAB=∠EBA=∠FCB=∠FBC，證明△AEB≌△CFB，得到答案；
（2）連接AC，作DG⊥AC于G，AH⊥DF于H，證明∠DAG=∠ABC，表示出AD、CD、AH的長，得到答案．

解答 解：（1）連接AC，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴AB=BC，∠EAB=∠EBA=∠FCB=∠FBC，
∴△AEB≌△CFB，
∴BE=BF；
（2）連接AC，作DG⊥AC于G，AH⊥DF于H，
∵DE、DF是⊙O的切線，切點分別為A，C，
∴∠ABC=∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC，
∴AG=CG=$\frac{1}{2}$AC，
∴tan∠DAG=tan∠ABC=$\frac{DG}{AG}$=$\frac{4}{3}$，
設DG=4k，則AG=3k，
∴AC=2AG=6k，AD=CD=5k，
$\frac{1}{2}$×AC×DG=$\frac{1}{2}$×CD×AH，
∴AH=$\frac{24}{5}$k，
∴sin∠EDF=$\frac{AH}{AD}$=$\frac{24}{25}$．

點評 本題考查的是三角形的內切圓的知識，掌握弦切角定理、切線長定理和銳角三角函數(shù)的概念是解題的關鍵．