Question

15．如圖，直徑AB，CD的夾角為60°，P為⊙O上的一個動點（不與點A，B，C，D重合）．PM，PN分別垂直于CD，AB，垂足分別為M，N．若⊙O的半徑長為2，則MN的長（　�。�

• A． 隨P點運動而變化，最大值為$\sqrt{3}$
• B． 等于$\sqrt{3}$
• C． 隨P點運動而變化，最小值為$\sqrt{3}$
• D． 隨P點運動而變化，沒有最值

Answer 1

分析 當PM⊥AB于圓心O時，延長PM交圓與點E，PN⊥CD，延長PN交圓于點F，連接EF，求出EF的長，得到MN的長，根據(jù)圓周角、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得到答案．

解答 解：如圖，當PM⊥AB于圓心O時，延長PM交圓與點E，PN⊥CD，延長PN交圓于點F，連接EF，
根據(jù)垂徑定理，MN=$\frac{1}{2}$EF，
∵∠AOD=120°，PM⊥AB，
∴∠PMN=30°，∠P=60°，
在Rt△PEF中，PE=4，則EF=2$\sqrt{3}$，
∴MN=$\sqrt{3}$，
點P移動時，由題意，∠P=60°，
根據(jù)在同圓中，圓周角相等，所對的弧相等，弦也相等，
即弦長為2$\sqrt{3}$，∴MN=$\sqrt{3}$，
故選：B．

點評 本題考查的是垂徑定理、三角形中位線定理和銳角三角函數(shù)的運用，求出特殊情況下的MN的值是解題的關(guān)鍵，解答時，要靈活運用圓周角、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系．