Question

20．如圖，已知A₁A₂=1，∠OA₁A₂=90°，∠A₁OA₂=30°，以斜邊OA₂為直角邊作直角三角形，使得∠A₂OA₃=30°，依次以前一個(gè)直角三角形的斜邊為直角邊一直作含30°角的直角三角形，則Rt△A₂₀₁₄OA₂₀₁₅的面積為$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{3}\sqrt{3}$）⁴⁰²⁶．

Answer 1

分析 在直角三角形OA₁A₂中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，得到OA₂=2A₁A₂，由A₁A₂的長求出OA₂的長，在直角三角形OA₂A₃中，利用銳角三角函數(shù)定義得到tan∠A₂OA₃等于A₂A₃與OA₂的比值，求出A₂A₃的長，再利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半，求出OA₃的長，同理求出A₃A₄的長，以此類推得到直角三角形△A₂₀₁₄OA₂₀₁₅的兩條直角邊的長，求出面積．

解答 解：在Rt△OA₁A₂中，A₁A₂=1，∠OA₁A₂=90°，∠A₁OA₂=30°，
∴OA₁=1÷tan30°=$\sqrt{3}$，OA₂=$\sqrt{3}$÷cos30°=2，
在Rt△OA₂A₃中，OA₂=2，∠OA₂A₃=90°，∠A₂OA₃=30°，
∴A₂A₃=OA₂tan∠A₂OA₃=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OA₃=OA₂÷cos∠A₂OA₃=$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，
由此可知OA₂=OA₁×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OA₃=OA₁×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²，
則OA₂₀₁₄=OA₁×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²⁰¹³，
則Rt△A₂₀₁₄OA₂₀₁₅的面積為$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×（$\frac{2}{3}\sqrt{3}$）²⁰¹³×（$\frac{2}{3}\sqrt{3}$）²⁰¹³=（$\frac{2}{3}\sqrt{3}$）⁴⁰²⁵．

點(diǎn)評 此題考查了勾股定理以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，屬于規(guī)律型試題，利用了轉(zhuǎn)化的思想，鍛煉了學(xué)生歸納總結(jié)的能力．