Question

11．已知拋物線y=ax²+bx-3經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，且點(diǎn)P在x軸下方，線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）如圖②，直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$交拋物線于A、E兩點(diǎn)，點(diǎn)D為線段AE上一點(diǎn)，連接BD，有一動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BD以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D，再沿DE以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到E，問(wèn)：是否存在點(diǎn)D，使點(diǎn)Q從點(diǎn)B到E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得到關(guān)于a、b的方程組，從而可求得a、b的值；
（2）先求得拋物線的對(duì)稱軸為x=1．過(guò)點(diǎn)B′作B′M⊥對(duì)稱軸，垂足為M．然后證明△BNP≌△PMB，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知BN=PM=3，PN=MB′．設(shè)P（1，m），則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（1-m，m-2），最后將點(diǎn)B′的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求解即可；
（3）過(guò)點(diǎn)E作EF∥x軸，作點(diǎn)DF∥y軸，則∠EFD=90°．先求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，則可得到OG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，在Rt△AGO中，利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得∠A的度數(shù)，則∠FED=30°，依據(jù)函數(shù)30°直角三角形的性質(zhì)可得到DF=$\frac{1}{2}$DE．則動(dòng)點(diǎn)Q沿DE以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到E與它一每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)?xùn)|F所用時(shí)間相等．故此當(dāng)BD+DF最短時(shí)，所用時(shí)間最短，依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)B，D，F(xiàn)在一條直線上時(shí)，所用時(shí)間最短，此時(shí)BE⊥BF，則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3，然后由函數(shù)解析式再求得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=-2．
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．
（2）∵A（-1，0），B（3，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1．
如圖所示：過(guò)點(diǎn)B′作B′M⊥對(duì)稱軸，垂足為M．

∵∠BPB′=90°，
∴∠BPN+∠B′PM=90°．
∵∠BPN+∠PBN=90°，
∴∠PNB=∠B′PM．
在△BPN和△PB′M中$\left\{\begin{array}{l}{∠PBN=∠B′PM}\\{∠BNP=∠PMB′}\\{PB=PB′}\end{array}\right.$．
∴△BNP≌△PMB．
∴BN=PM=3，PN=MB′．
設(shè)P（1，m），則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（1-m，m-2）．
將點(diǎn)B′的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：
（1-m）²-2（1-m）-3=m-2，解得：m₁=-1，m₂=2．
∵點(diǎn)P在x軸的下方，
∴m=-1．
∴P（1，-1）．
（3）存在．
如圖所示：過(guò)點(diǎn)E作EF∥x軸，作點(diǎn)DF∥y軸，則∠EFD=90°．

將x=0代入直線AE的解析式得y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴OG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴tan∠GAO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴∠FEA=∠GAO=30°．
∴DF=$\frac{1}{2}$DE．
∴動(dòng)點(diǎn)Q沿DE以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到E與它一每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)?xùn)|F所用時(shí)間相等．
∴當(dāng)BD+DF最短時(shí)，所用時(shí)間最短．
∴當(dāng)B，D，F(xiàn)在一條直線上時(shí)，所用時(shí)間最短．
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3．
將x=3代入直線AE的解析式得：y=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴D（3，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，用含點(diǎn)m的式子表示點(diǎn)B′的坐標(biāo)是解答問(wèn)題（2）的關(guān)鍵，得到當(dāng)點(diǎn)B、D、F在一條直線上時(shí)，所用時(shí)間最短是解答問(wèn)題（3）的關(guān)鍵．