Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（m，0），B（m+4，0），對(duì)于線段AB和x軸上方的點(diǎn)P給出如下定義：當(dāng)45°≤∠APB≤90°時(shí)，稱點(diǎn)P為線段AB的“半月點(diǎn)”．
（1）若 m=2時(shí)，
①在點(diǎn)C（3，1 ），D（ 5，3 ），E（ 2，4 ）中，線段AB的“半月點(diǎn)”有D、E；
②在直線y=x+b上存在線段AB的“半月點(diǎn)”，求b的取值范圍．
（2）請(qǐng)從下面兩個(gè)問題中任選一個(gè)作答．
溫馨提示：兩題均答不重復(fù)計(jì)分．
問題一：直線y=-x+14與x軸交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，若線段AB的所有“半月點(diǎn)”都在△MON內(nèi)部，直接寫出m的取值范圍．
問題二：點(diǎn)G（3，-1），點(diǎn)P為線段AB的“半月點(diǎn)”，直線GP把線段AB分成1：3兩部分，當(dāng)m=1時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①如圖畫出“半月型”的圖形即可判斷；②當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)B（6，0）時(shí)，b=-6，當(dāng)直線與$\widehat{AEB}$相切時(shí)，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{（x-4）^{2}+（y-2）^{2}=8}\end{array}\right.$，消去y整理得到2x²+（2b-12）x+b²-4b+12=0，由題意△=0，可得b²+4b-12=0，解得b=2或-6，由此即可判斷；
（2）問題一：易知“半月型”的大圓半徑為2$\sqrt{2}$，小圓半徑為2，當(dāng)“半月型”與y軸相切時(shí)，m=2$\sqrt{2}$-2，當(dāng)“半月型”與直線y=-x+14相切時(shí)，易知切點(diǎn)為（10，4），此時(shí)B（10，0），m=6，即可推出當(dāng)$2\sqrt{2}-2$＜m＜6時(shí)，線段AB的所有“半月點(diǎn)”都在△MON內(nèi)部．
問題二：如圖3中，直線PG分線段AB三等分，①當(dāng)直線PG經(jīng)過Q（2，0）時(shí)，直線PG的解析式為y=-x+2，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{（x-3）^{2}{+y}^{2}=4}\end{array}\right.$解得M（$\frac{5-\sqrt{7}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{（x-3）^{2}+（y-2）^{2}=8}\end{array}\right.$，解得H（$\frac{3-\sqrt{7}}{2}$，$\frac{\sqrt{7}+1}{2}$），可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的范圍為$\frac{{3-\sqrt{7}}}{2}$≤x≤$\frac{{5-\sqrt{7}}}{2}$．
②當(dāng)直線PG經(jīng)過F（4，0）時(shí)，同法可求；

解答 解：（1）①如圖1中，觀察圖象可知，線段AB的“半月點(diǎn)”有D，E．
故答案為D、E．

②如圖2中，

①當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)B（6，0）時(shí)，b=-6，
②當(dāng)直線與$\widehat{AEB}$相切時(shí)，由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{（x-4）^{2}+（y-2）^{2}=8}\end{array}\right.$，消去y整理得到2x²+（2b-12）x+b²-4b+12=0，
由題意△=0，可得b²+4b-12=0，解得b=2或-6，
綜上所述，在直線y=x+b上存在線段AB的“半月點(diǎn)”，b的取值范圍為-6≤b≤2．
-6＜b≤2．

（3）問題1：易知“半月型”的大圓半徑為2$\sqrt{2}$，小圓半徑為2，
當(dāng)“半月型”與y軸相切時(shí)，m=2$\sqrt{2}$-2，
當(dāng)“半月型”與直線y=-x+14相切時(shí)，易知切點(diǎn)為（10，4），此時(shí)B（10，0），m=6，
∴當(dāng)$2\sqrt{2}-2$＜m＜6時(shí)，線段AB的所有“半月點(diǎn)”都在△MON內(nèi)部．

問題2：如圖3中，

∵直線PG分線段AB三等分，
①當(dāng)直線PG經(jīng)過Q（2，0）時(shí)，
直線PG的解析式為y=-x+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{（x-3）^{2}{+y}^{2}=4}\end{array}\right.$解得M（$\frac{5-\sqrt{7}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{（x-3）^{2}+（y-2）^{2}=8}\end{array}\right.$，解得H（$\frac{3-\sqrt{7}}{2}$，$\frac{\sqrt{7}+1}{2}$），
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的范圍為$\frac{{3-\sqrt{7}}}{2}$≤x≤$\frac{{5-\sqrt{7}}}{2}$．
②當(dāng)直線PG經(jīng)過F（4，0）時(shí)，
直線PG的解析式為y=-x-4，同法可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為$\frac{{7+\sqrt{7}}}{2}$≤x≤$\frac{{9+\sqrt{7}}}{2}$，
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍為$\frac{{7+\sqrt{7}}}{2}$≤x≤$\frac{{9+\sqrt{7}}}{2}$，$\frac{{3-\sqrt{7}}}{2}$≤x≤$\frac{{5-\sqrt{7}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)綜合題、圓、一元二次方程組、根的判別式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用輔助圓解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，學(xué)會(huì)用方程組解決有關(guān)交點(diǎn)問題，屬于中考?jí)狠S題．