Question

14．如圖，已知點(diǎn)A、B、C在同一直線上，△ABD和△BCE都是等邊三角形．則在下列結(jié)論中：①AP=DQ，②EP=EC，③PQ=PB，④∠AOB=∠BOC=∠COE．正確的結(jié)論是①③④（填寫序號(hào)）．

Answer 1

分析 易證△ABE≌△DBC，則有∠BAE=∠BDC，從而可證到△ABP≌△DBQ，則有AP=DQ，BP=BQ，由∠PBQ=60°可得△BPQ是等邊三角形，則有PQ=PB．∠BPQ=60°，從而可得∠EPB＞∠EBP，即可得到EB＞EP，即EC＞EP，由△ABE≌△DBC可得S_△ABE=S_△DBC，AE=DC，從而可得點(diǎn)B到AE、DC的距離相等，因而點(diǎn)B在∠AOC的角平分線上，即可得到∠AOB=∠BOC=∠COE=60°．

解答 解：∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，
∴BD=BA=AD，BE=BC=EC，∠ABD=∠CBE=60°，
∵點(diǎn)A、B、C在同一直線上，
∴∠DBE=180°-60°-60°=60°，
∴∠ABE=∠DBC=120°．
在△ABE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BA}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC．
在△ABP和△DBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠BDQ}\\{AB=DB}\\{∠ABP=∠DBQ=60°}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DBQ，
∴AP=DQ，BP=BQ．
∴①正確．
∵∠PBQ=60°，
∴△BPQ是等邊三角形，
∴PQ=PB．∠BPQ=60°．
∴③正確．
∵∠EPB＞∠BPQ，∠BPQ=∠EBP=60°，
∴∠EPB＞∠EBP，
∴EB＞EP，
∴EC＞EP，
∴②不正確．
∵∠DPA=∠PDO+∠DOP，∠DPA=∠PAB+∠ABP，∠PDO=∠PAB，
∴∠DOP=∠ABP=60°，
∴∠COE=60°，∠AOC=120°．
∵△ABE≌△DBC，
∴S_△ABE=S_△DBC，AE=DC，
∴點(diǎn)B到AE、DC的距離相等，
∴點(diǎn)B在∠AOC的角平分線上，
∴∠AOB=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，
∴∠AOB=∠BOC=∠COE=60°．
∴④正確．
故答案為①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、角平分線的判定、大角對(duì)大邊等知識(shí)，根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上，得到OB是∠AOC的角平分線，是證明④的關(guān)鍵．