Question

4．如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)為BC邊上的中點(diǎn)，連接AF交對角線BD于G，在BD上截BE=BA，連接AE，將△ADE沿AD翻折得△ADE′，連接E′C交BD于H，若BG=2，則四邊形AGHE′的面積是$\frac{60}{7}$-$\frac{9}{14}\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先連接EE'，過G作BC的垂線，交BC于M，交AD于N，則MN⊥AD，運(yùn)用勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)，求得△DE'H的面積，△ADG的面積以及△ADE'的面積，再根據(jù)四邊形AGHE′的面積=△ADG的面積+△ADE'的面積-△DE'H的面積，進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：如圖所示，連接EE'，過G作BC的垂線，交BC于M，交AD于N，則MN⊥AD，
由BF∥AD可得，△BGF∽△DGA，
∴$\frac{BG}{DG}$=$\frac{BF}{DA}$
∵BG=2，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
∴DG=4，BD=6，
∴等腰Rt△ABD中，AB=3$\sqrt{2}$，
∴BE=BA=3$\sqrt{2}$，
∴DE=6-3$\sqrt{2}$，
由折疊可得，AD⊥EE'，∠EDE'=90°，
∴等腰Rt△DEE'中，EE'=$\sqrt{2}$DE=6$\sqrt{2}$-6，
△DEE'的面積=$\frac{1}{2}$DE²=$\frac{1}{2}$（6-3$\sqrt{2}$）²=27-18$\sqrt{2}$，
由EE'∥CD，可得△EE'H∽△DCE，
∴$\frac{EE'}{DC}$=$\frac{EH}{DH}$，即$\frac{EH}{DH}$=$\frac{6\sqrt{2}-6}{3\sqrt{2}}$=2-$\sqrt{2}$，
∴△DE'H的面積=△DEE'的面積×$\frac{1}{2-\sqrt{2}+1}$=（27-18$\sqrt{2}$）×$\frac{1}{3-\sqrt{2}}$=$\frac{45-27\sqrt{2}}{7}$，
∵Rt△BGM中，GM=$\sqrt{2}$，
∴GN=3$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，
∴△ADG的面積=$\frac{1}{2}$AD×GN=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=6，
又∵△ADE'的面積=$\frac{1}{2}$AD×$\frac{EE'}{2}$=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×（3$\sqrt{2}$-3）=9-$\frac{9}{2}\sqrt{2}$，
∴四邊形AGHE′的面積=△ADG的面積+△ADE'的面積-△DE'H的面積=6+（9-$\frac{9}{2}\sqrt{2}$）-$\frac{45-27\sqrt{2}}{7}$=$\frac{60}{7}$-$\frac{9}{14}\sqrt{2}$．
故答案為：$\frac{60}{7}$-$\frac{9}{14}\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題屬于折疊問題，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形，依據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得線段的長，進(jìn)而得到三角形的面積．