Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標是（4，0），并且OA=OC=4OB，動點P在過A，B，C三點的拋物線上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在點P，使得∠PCO=∠POC？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；
（3）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出點B和點C的坐標，然后設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，根據(jù)題意列出a，b和c的三元一次方程組，求出a，b和c的值即可；
（2）作線段OC的垂直平分線l，與拋物線的交點即為點P，把y=2代入拋物線的表達式，求出x的值即可；
（3）①當以C為直角頂點時，過點C作CP₁⊥AC，交拋物線于點P₁，過點P₁作y軸的垂線，垂足是M，先求出MC=MP₁，設(shè)P₁（m，-m²+3m+4），則m=-m²+3m+4-4，求出m的值即可；②當點A為直角頂點時，過A作AP₂⊥AC，交拋物線于點P₂，過點P₂作y軸的垂線，垂足是N，AP₂交y軸于點F．則P₂N∥x軸，求出AO=OF，P₂N=NF，進而得到m的一元二次方程，求出m的值，即可求出點P的坐標．

解答 解：（1）由A（4，0），可知OA=4，
∵OA=OC=4OB，
∴OA=OC=4，OB=1，
∴C（0，4），B（-1，0）．
設(shè)拋物線的解析式是y=ax²+bx+c，
則$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$．
則拋物線的解析式是：y=-x²+3x+4；　　

（2）存在．　
作線段OC的垂直平分線l，與拋物線的交點即為點P．
∵C（0，4），O（0，0），
∴直線l的表達式為y=2；
把y=2代入拋物線的表達式，
得2=-x²+3x+4；
解得，x=$\frac{3±\sqrt{17}}{2}$
∴點P的坐標是：（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，2）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，2）

（3）存在．　
第一種情況，當以C為直角頂點時，過點C作CP₁⊥AC，交拋物線于點P₁．過點P₁作y軸的垂線，垂足是M．
∵∠ACP₁=90°，
∴∠MCP₁+∠ACO=90°．
∵∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠MCP₁=∠OAC．
∵OA=OC，
∴∠MCP₁=∠OAC=45°，
∴∠MCP₁=∠MP₁C，
∴MC=MP₁，
設(shè)P（m，-m²+3m+4），則m=-m²+3m+4-4，
解得：m₁=0（舍去），m₂=2．
∴-m²+3m+4=6，
即P（2，6）．　　　　　　
第二種情況，當點A為直角頂點時，過A作AP₂，AC交拋物線于點P₂，過點P₂作y軸的垂線，垂足是N，AP交y軸于點F．
∴P₂N∥x軸，
由∠CAO=45°，
∴∠OAP=45°，
∴∠FP₂N=45°，AO=OF．
∴P₂N=NF，
設(shè)P₂（n，-n²+3n+4），則n=（-n²+3n+4）+4
解得：n₁=-2，n₂=4（舍去），
∴-n²+3n+4=-6，
則P₂的坐標是（-2，-6）．
綜上所述，P的坐標是（2，6）或（-2，-6）．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題的知識，此題涉及到待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次方程的解法的知識，解答（2）問需要作線段OC的垂直平分線l，解答（3）問需要進行分類討論，此題有一定的難度．