Question

6．如圖1，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸是直線l，l與x軸交于點(diǎn)H，
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖2，若E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（E與A、D不重合），過E點(diǎn)作平行于y軸的直線交拋物線與點(diǎn)F，交x軸與點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，△ADF的面積為S，
①求S與m的函數(shù)表達(dá)式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入從而可求得a=-1，從而可求得拋物線的解析式；
（2）①先求得拋物線的對(duì)稱軸為x=-1，然后可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)（-1，4），然后可求得AH=2，DH=4，由點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，可知AG=m+3，于是得到EG=2m+6，然后將點(diǎn)F的橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式，可求得FG=-m²-2m+3，最后根據(jù)△ADF的面積=$\frac{1}{2}EF•AH$列出函數(shù)的關(guān)系式；②利用配方法求得當(dāng)m=-2時(shí)，S的最大值為1，然后將m=-2，代入得EG=2m+6可求得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，從而可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：-3a=3，
解得：a=-1．
將a=-1代入得：y=-（x+3）（x-1）．
整理得：y=-x²-2x+3．
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²-2x+3．
（2）①∵圖象經(jīng)過A（-3，0），B（1，0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=-1．
將x=-1代入拋物線的解析式得；y=4．
∴DH=4，AH=2．
∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，
∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為m．
∴AG=m+3．
∵DH∥y軸，
∴△AEG∽△ADH．
∴$\frac{EG}{AG}=\frac{DH}{AH}$即$\frac{EG}{m+3}=\frac{4}{2}$．
∴EG=2m+6．
將x=m代入拋物線的解析式得；y=-m²-2m+3．
∴FG=-m²-2m+3．
∴FE=FG-EG=-m²-2m+3-（2m+6）=-m²-4m-3．
∴${S}_{△ADF}=\frac{1}{2}EF•AH$=$\frac{1}{2}×2×$（-m²-4m-3）=-m²-4m-3．
∴S與m的表達(dá)式為S=-m²-4m-3．
②由S=-m²-4m-3配方得：S=-（m+2）²+1．
當(dāng)m=-2時(shí)，S有最大值，最大值為S=1．
將m=-2代入EG=2m+6得；GE=2．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、解答本題需要同學(xué)們熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，用含m的式子表示出EF的長是解題的關(guān)鍵．