Question

15．初步探究
如圖①，過點(diǎn)P的兩條直線分別與⊙O相切于點(diǎn)A，與⊙O相交于B、C兩點(diǎn)，且AC恰好經(jīng)過圓心O．求證△PAB∽△PCA．
進(jìn)一步探究
如圖②若其他條件不變，但AC不經(jīng)過圓心O．上述結(jié)論是否成立？請說明理由．
嘗試應(yīng)用
如圖③，PA=3，PB=$\sqrt{3}$，⊙O的半徑為2，請直接寫出直線PC上一點(diǎn)與圓心O的最短距離．

Answer 1

分析 （1）由PA與⊙O相切，得到∠PAC=90°．根據(jù)余角的想知道的∠PAB=∠C．于是得到結(jié)論；
（2）連接AO，延長AO交⊙O于D，連接BD．根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PAD=90°．根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠PAB=∠D．于是得到結(jié)論；
（3）過O作OD⊥BC于D，連接OB，則OB=2，OD為直線PC上一點(diǎn)D與圓心O的最短距離，根據(jù)切割線定理得到PC=3$\sqrt{3}$，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵PA與⊙O相切，
∴∠PAC=90°．
∴∠BAD+∠PAB=90°．
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠BAD+∠C=90°．
∴∠PAB=∠C．
又∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△PCA；

（2）成立．連接AO，延長AO交⊙O于D，連接BD．
∵PA與⊙O相切，
∴∠PAD=90°．
∴∠BAD+∠PAB=90°．
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠BAD+∠D=90°．
∴∠PAB=∠D．
又∵∠C=∠D，
∴∠PAB=∠C．
又∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△PCA；

（3）過O作OD⊥BC于D，連接OB，
則OB=2，OD為直線PC上一點(diǎn)D與圓心O的最短距離，
∵PA是⊙O的切線，
∴PA²=PB•PC，
∴PC=3$\sqrt{3}$，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
∵BD⊥BC，
∴BD=$\sqrt{3}$，
∴OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=1．

點(diǎn)評 本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定，圓周角定理，切割線定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．