Question

9．如圖，AB是⊙O的切線(xiàn)，點(diǎn)C在⊙O上，且AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，若∠A=20°，AD=2，AB=4．
（1）求∠C的度數(shù)；
（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）利用切線(xiàn)的性質(zhì)得∠ABO=90°，則利用互余可計(jì)算出∠AOB=70°，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可計(jì)算出∠C的度數(shù)；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△AOB中利用勾股定理得到r²+4²=（r+2）²，然后解方程求出r即可．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的切線(xiàn)，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
∴∠AOB=90°-∠A=90°-20°=70°，
∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC，
∵∠AOB=∠C+∠OBC，
∴∠C=$\frac{1}{2}∠$AOB=35°；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=OD=r，
在Rt△AOB中，∵OB²+AB²=AO²，
∴r²+4²=（r+2）²，解得r=3，
即⊙O的半徑為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線(xiàn)，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．