Question

17．已知菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，OB=4$\sqrt{3}$，∠COA═60°，點(diǎn)P是對(duì)角線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1），則CP+DP的最小值為（　�。�

• A． 5
• B． $\sqrt{17}$
• C． 4
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 連接AC，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)A、C關(guān)于直線OB對(duì)稱，連接AD與OB相交于點(diǎn)P，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，點(diǎn)P即為所求作的使CP+DP最小的點(diǎn)，根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角求出∠AOB=30°，然后求出OA的長(zhǎng)度，根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)求出OD，再利用勾股定理列式計(jì)算求出AD，從而得解．

解答 解：如圖，連接AC，
∵四邊形OABC是菱形，
∴點(diǎn)A、C關(guān)于直線OB對(duì)稱，
連接AD與OB相交于點(diǎn)P，由軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，點(diǎn)P即為所求作的使CP+DP最小的點(diǎn)，
CP+DP的最小值為AD的長(zhǎng)度，
∵∠COA═60°，
∴∠AOB=$\frac{1}{2}$∠COA=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$OB÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=4，
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1），
∴OD=1，
由勾股定理得，AD=$\sqrt{O{A}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及最短距離的確定方法找出點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．