Question

閱讀并回答下列問題．
幾何模型：
條件：如圖甲①，A，B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．問題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最�。�
方法：如圖甲②，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交l于點(diǎn)P，則PA+PB=A′B的值最�。ú槐刈C明）．
模型應(yīng)用：
（1）如圖乙①，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)．連接BD，由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱．連接ED交AC于P，則PB+PE的最小值是

 

；
（2）如圖乙②，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值是

 

．
（3）如圖乙③，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q，R分別是OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，則△PQR周長的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對稱-最短路線問題

專題：幾何綜合題

分析：（1）由題意易得PB+PE=PD+PE=DE，在△ADE中，根據(jù)勾股定理求得即可；
（2）作A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)A′，連接A′C，交OB于P，求A′C的長，即是PA+PC的最小值；
（3）作出點(diǎn)P關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)M，關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)N，連接MN，它分別與OA，OB的交點(diǎn)Q、R，這時(shí)三角形PQR的周長=MN，只要求MN的長就行了．

解答：解：模型應(yīng)用：
（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC垂直平分BD，
∴PB=PD，
由題意易得：PB+PE=PD+PE=DE，
在△ADE中，根據(jù)勾股定理得，DE=

22+12

=

5

；
故答案為：

5

；

（2）作A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)A′，連接A′C，交OB于P，
PA+PC的最小值即為A′C的長，
∵∠AOC=60°
∴∠A′OC=120°
作OD⊥A′C于D，則∠A′OD=60°
∵OA′=OA=2
∴A′D=

3

，
∴A′C=2

3

，即PA+PC的最小值是2

3

；
故答案為：2

3

；

（3）分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)M、N，連接OM、ON、MN，MN交OA、OB于點(diǎn)Q、R，
連接PR、PQ，此時(shí)△PQR周長的最小值等于MN．
由軸對稱性質(zhì)可得，OM=ON=OP=10，∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，
∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，
在Rt△MON中，MN=

OM2+ON2

=

102+102

=10

2

．
即△PQR周長的最小值等于10

2

．
故答案為：10

2

．

點(diǎn)評：此題主要考查了有關(guān)軸對稱--最短路線的問題，涉及到正方形、圓、等腰直角三角形的有關(guān)知識，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識是解答此題的關(guān)鍵．