Question

7．（1）如圖①，△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分線交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作EF∥BC交AB、AC于E、F．圖中有5個(gè)等腰三角形．猜想：EF與BE、CF之間有怎樣的關(guān)系，并說明理由．
（2）如圖②，若AB≠AC，其他條件不變，圖中有2個(gè)等腰三角形．
它們是△BEO，△CFO．EF與BE、CF間的關(guān)系是EF=BE+CF．
（3）如圖③，若△ABC中∠ABC的平分線與三角形外角平分線交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．這時(shí)圖中有2個(gè)等腰三角形．EF與BE、CF關(guān)系又如何？說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，得到∠AEF=∠AFE，得出AE=AF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，由角平分線的定義得到∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，得到∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，得到∠OBC=∠OCB，得出OE=BE，OF=CF，OB=OC，即可得到結(jié)論．
（2）等腰三角形有△BEO和△CFO，根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)推出∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，根據(jù)等角對等邊推出即可；根據(jù)BE=OE，CF=OF即可得出EF與BE、CF之間的關(guān)系；
（3）等腰三角形有△BEO和△CFO，根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)推出∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，根據(jù)等角對等邊推出即可；根據(jù)BE=OE，CF=OF即可得出EF與BE、CF之間的關(guān)系．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∵∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴BE=OE，OF=CF，
∴△ABC，△AEF，△BOC，△BEO，△CFO是等腰三角形；
故答案為：5；
猜想：EF=BE+CF；理由如下：
∵BE=OE，OF=CF，
∴EF=OE+OF=BE+CF；
（2）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，
∴△BEO和△CFO是等腰三角形；
即圖中等腰三角形有△BEO，△CFO；
EF與BE、CF之間的關(guān)系是EF=BE+CF，
理由是：∵BE=OE，CF=OF
∴EF=BE+CF；
故答案為：2；△BEO，△CFO；EF=BE+CF．
（3）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACG，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCG，
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCG，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=OE，CF=OF，
∴△BEO和△CFO是等腰三角形
即圖中等腰三角形有△BEO，△CFO；
故答案為：2；
EF與BE、CF之間的關(guān)系是EF=BE-CF，
理由是：∵BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE-OF=BE-CF．

點(diǎn)評 此題是三角形綜合題目，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，利用了等量代換的思想，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解本題的關(guān)鍵．