Question

12．如圖1拋物線y=ax²+bx+c過 A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點(diǎn)．

（1）求拋物線解析式；
（2）點(diǎn)C，D關(guān)于拋物線對稱軸對稱，求△BCD的面積；
（3）如圖2，過點(diǎn)E（1，-1）作EF⊥x軸于點(diǎn)F，將△AEF繞平面內(nèi)某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得△MNQ（點(diǎn)M、N、Q分別與A、E、F對應(yīng)）使得M、N在拋物線上，求M、N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式可求得拋物線對稱軸，可求得D點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得△BCD的面積；
（3）由旋轉(zhuǎn)知△MNQ≌△AEF，設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），則可表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，把M、N的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得到關(guān)于m、n的方程組，可求得m、n的值，則可求得M、N的坐標(biāo)．

解答 解：
（1）拋物線y=ax²+bx+c過 A（-1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點(diǎn)，
∴可設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-4），
把C（0，2）代入得2=a（0+1）（0-4），解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）拋物線對稱軸為x=-$\frac{2a}$=-$\frac{\frac{3}{2}}{2×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{3}{2}$，
∵點(diǎn) C（0，2），D關(guān)于拋物線對稱軸對稱，
∴D（3，2），
∴CD=3，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD•OC=$\frac{1}{2}$×3×2=3；
（3）∵A（-1，0），E（1，-1），EF⊥x軸于點(diǎn)F，
∴AF=2，EF=1
如圖2，由旋轉(zhuǎn)知△MNQ≌△AEF，

∴MQ=AF=2，NQ=EF=1，
且MQ∥x軸，NQ⊥x軸，
設(shè)N（m，n），則M（m+2，n-1），
代入拋物線解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，
得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{m}^{2}+\frac{3}{2}m+2=n}\\{-\frac{1}{2}（m+2）^{2}+\frac{3}{2}（m+2）+2=n-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴M（3，2），N（1，3）．

點(diǎn)評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、軸對稱、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及方程思想等知識點(diǎn)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中求得D點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中求得MQ和NQ的長是解題的關(guān)鍵，注意方程思想的應(yīng)用．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．