Question

2．在一次數學興趣小組活動中，小明利用同弧所對的圓周角及圓心角的性質探索了一些問題，下面請你和小明一起進入探索之旅．
問題情境：
（1）如圖1，在△ABC中，∠A=30°，BC=2，則△ABC的外接圓的半徑為2．
操作實踐：
（2）如圖2，在矩形ABCD中，請利用以上操作所獲得的經驗，在矩形ABCD內部用直尺與圓規(guī)作出一點P．點P滿足：∠BPC=∠BEC，且PB=PC．
（要求：用直尺與圓規(guī)作出點P，保留作圖痕跡．）
遷移應用：
（3）如圖3，在平面直角坐標系的第一象限內有一點B，坐標為（2，m）．過點B作AB⊥y軸，BC⊥x軸，垂足分別為A、C，若點P在線段AB上滑動（點P可以與點A、B重合），發(fā)現使得∠OPC=45°的位置有兩個，則m的取值范圍為2≤m＜1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）連接OB、OC，只要證明△OBC是等邊三角形即可．
（2）如圖2中，作BC的垂直平分線，交BE于點O，以O為圓心，OB為半徑作圓，交垂直平分線于點P，則點P為所求．
（3）如圖3中，在x軸上方作△OKC，使得△OKC是以OC為斜邊的等腰直角三角形，作KE⊥AB于E．當EK=KC=時，以K為圓心，KC為半徑的圓與AB相切，此時m=BC=1+$\sqrt{2}$，在AB上只有一個點P滿足∠OPC=$\frac{1}{2}$OKC=45°，當BK=$\sqrt{2}$時，在AB上恰好有兩個點P滿足∠OPC=$\frac{1}{2}$∠OKC=45°，此時m=BC=2，由此不難得出結論．

解答 解：（1）如圖1中，連接OB、OC．

∵∠BOC=2∠A，∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴OB=OC=BC=2，
故答案為：2；

（2）如圖2中，作BC的垂直平分線，交BE于點O；
以O為圓心，OB為半徑作圓，交垂直平分線于點P，
則點P為所求．


（3）如圖3中，在x軸上方作△OKC，使得△OKC是以OC為斜邊的等腰直角三角形，作KE⊥AB于E．

∵OC=2，
∴OK=KC=$\sqrt{2}$，
當EK=KC=$\sqrt{2}$時，以K為圓心，KC為半徑的圓與AB相切，此時m=BC=1+$\sqrt{2}$，在AB上只有一個點P滿足∠OPC=$\frac{1}{2}$∠OKC=45°，
當BK=$\sqrt{2}$時，在AB上恰好有兩個點P滿足∠OPC=$\frac{1}{2}$∠OKC=45°，此時m=BC=2，
綜上所述，滿足條件的m的值的范圍為2≤m＜1+$\sqrt{2}$．
故答案為2≤m＜1+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查圓綜合題、圓周角定理、作圖-復雜作圖、勾股定理、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是靈活應用圓周角等于同弧所對的圓心角的一半解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．