Question

5．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分線，已知∠BAC=∠ACD．
（1）求證：△ABC≌△CDA；
（2）若∠B=60°，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB=AC可得出∠ABC=∠ACB，再根據(jù)外角的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義即可得出∠CAD=$\frac{1}{2}$∠CAF=∠ABC，又全等三角形的判定定理（AAS）即可證出△ABC≌△CDA；
（2）由AB=AC、∠B=60°即可得出△ABC為等邊三角形，再根據(jù)△ABC≌△CDA即可得出△ACD為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出AB=BC=CD=AD，結(jié)合菱形的判定定理即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，∠CAF=∠ABC+∠ACB，
∵AD是△ABC外角的平分線，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠CAF=∠ABC．
在△ABC和△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠ABC}\\{∠ACD=∠BAC}\\{CA=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDA（AAS）．
（2）∵AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC．
∵△ABC≌△CDA，
∴△ACD為等邊三角形，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四邊形ABCD是菱形．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的判定、等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）熟練掌握全等三角形的判定定理；（2）熟練掌握菱形的判定定理．