Question

14．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD是中線，點E與點C關于AD對稱，CE交AD于F，連接BE．
（1）求∠E的度數(shù)；
（2）求證：EB=EF．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得CF=EF，AF⊥CE，再根據(jù)中線的定義可得CD=DB，然后判斷出DF是△BCF的中位線，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出DF∥BE，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠E=∠CFD；
（2）根據(jù)同角的余角相等求出∠CAF=∠BCE，然后利用“角角邊”證明△ACF和△CBE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CF=EB，再根據(jù)CF=EF等量代換即可得證．

解答 （1）解：∵點E與點C關于AD對稱，
∴CF=EF，AF⊥CE，
∴∠CFD=90°，
∵AD是中線，
∴CD=DB，
∴DF是△BCF的中位線，
∴DF∥BE，
∵∠E=∠CFD=90°；

（2）證明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCE=90°，
∵AF⊥CE，
∴∠CAF+∠ACF=90°，
∴∠CAF=∠BCE，
在△ACF和△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAF=∠BCE}\\{∠AFC=∠E=90°}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△CBE（AAS），
∴CF=EB，
∵CF=EF，
∴EB=EF．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，同角的余角相等的性質(zhì)，（1）難點在于判斷出DF是△BCF的中位線，（2）熟練掌握三角形全等的判定方法并確定出全等三角形是解題的關鍵．